Булева формула, що врівноважується в

Я шукаю посилання на складність задачі балансування булевих формул . Зокрема,

Чи було відомо, що булеві формули можна збалансувати в $\mathsf{AC^0}$ ?
Чи є простий доказ врівноваження булевої формули в $\mathsf{AC^0}$ ?

Під "простим" я маю на увазі доказ простіший, ніж той, який я згадую нижче, зокрема я шукаю доказ, який не залежить від булевої оцінки формули, що знаходиться в $\mathsf{NC^1}$ .

Фон

Тут усі згадані класи складності є єдиними.

BFB (балансування булевої формули):
Дано булеву формулу $\varphi$ ,
знайдіть еквівалентну збалансовану булеву формулу.

Мене цікавить складність цієї проблеми, зокрема прості докази, що показують, що проблема є в $\mathsf{AC^0}$ (або навіть $\mathsf{TC^0}$ або $\mathsf{NC^1}$ ). Загальні аргументації балансування, такі як ті, що ґрунтуються на леммі Спіра, застосовують повторні структурні зміни до дерева формул, які, здається, дають лише $BFB \in \mathsf{NC^2}$ .

У мене є доказ для $BFB \in \mathsf{AC^0}$ , однак доказ не простий і залежить від доказу $BFE \in \mathsf{NC^1}$ .

BFE (оцінка булевої формули)
З урахуванням булевої формули та присвоєння істини для змінних у , чи задовольняє ( )? $\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

З відомого результату Сем Бусса відомо, що булеву оцінку формули ( ) можна обчислити в (див. [Buss87] та [BCGR92] ). $BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

Звідси випливає (що дивно, принаймні для мене), що булеві формули врівноваження ( ) також є в : $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

Ідея полягає в тому, що ми можемо жорстко кодувати у вхідних воротах щоб отримати формулу, еквівалентну і це повністю синтаксична операція, обчислювана в . Оскільки має збалансовані формули, ми отримуємо еквівалентну збалансовану формулу для . Іншими словами, алгоритм: $\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

Мотивація

Більш простий аргумент, що знаходиться в (або або навіть ), дасть новий простіший доказ оскільки легко побачити, що збалансовану версію BFE можна вирішити в і ми можемо скласти її з і результат буде в . $BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

Запитання

Чи було відомо, що булеві формули можна збалансувати в ( )? $\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
Чи є простіший аргумент (наприклад, не покладаючись на ) для ? $BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— Каве
джерело

Яке визначення поняття "баланс" ви використовуєте?

— Дана Мошковіц

@Dana, ми можемо використовувати щось на зразок (тобто із конкретними константами). Дивіться також статтю Боннета та Бусса " Розміри по глибині для булевих формул ", 2002.

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

— Kaveh

погодився, дефініція "балансування" повинна бути зрозумілою. це подібне до концепції балансування у двійкових деревах? наприклад, "

— самоврівноважені

Я не впевнений, що це дуже актуально, але в алгоритмах лого-простору для доріжок та співпадінь у k-Деревах (спираючись на довгу історію минулої роботи та конкретно на класи Аритметизації навколо NC1 та L від Limaye-Mahajan-Rao) ми показуємо Як знайти рекурсивні врівноважені роздільники для дерева в Logspace. Цей зв'язаний варіант може бути непорушним для якщо дерево введення безпосередньо вказане в рядковому поданні. $\mathsf{NC}^1$

Основна ідея - представити дерево як вираз у дужках і знайти врівноважені роздільники для них. Зауважте, що ми знаходимо роздільники листя, тобто підкресли, які врівноважують wrt кількість листя.

— SamiD
джерело