Я шукаю посилання на складність задачі балансування булевих формул . Зокрема,
- Чи було відомо, що булеві формули можна збалансувати в ?
- Чи є простий доказ врівноваження булевої формули в ?
Під "простим" я маю на увазі доказ простіший, ніж той, який я згадую нижче, зокрема я шукаю доказ, який не залежить від булевої оцінки формули, що знаходиться в .
Фон
Тут усі згадані класи складності є єдиними.
BFB (балансування булевої формули):
Дано булеву формулу ,
знайдіть еквівалентну збалансовану булеву формулу.
Мене цікавить складність цієї проблеми, зокрема прості докази, що показують, що проблема є в (або навіть або ). Загальні аргументації балансування, такі як ті, що ґрунтуються на леммі Спіра, застосовують повторні структурні зміни до дерева формул, які, здається, дають лише .
У мене є доказ для , однак доказ не простий і залежить від доказу .
BFE (оцінка булевої формули)
З урахуванням булевої формули та присвоєння істини τ для змінних у φ , чи задовольняє τ φ ( τ ⊨ φ )?
З відомого результату Сем Бусса відомо, що булеву оцінку формули ( ) можна обчислити в N C 1 = A L o g T i m e (див. [Buss87] та [BCGR92] ).
Звідси випливає (що дивно, принаймні для мене), що булеві формули врівноваження ( ) також є в N C 1 :
Ідея полягає в тому, що ми можемо жорстко кодувати у вхідних воротах B F E, щоб отримати формулу, еквівалентну φ, і це повністю синтаксична операція, обчислювана в A C 0 . Оскільки B F E має збалансовані формули, ми отримуємо еквівалентну збалансовану формулу для φ . Іншими словами, алгоритм:
Мотивація
Більш простий аргумент, що знаходиться в (або або навіть ), дасть новий простіший доказ оскільки легко побачити, що збалансовану версію BFE можна вирішити в і ми можемо скласти її з і результат буде в .A C 0 T C 0 N C 1 B F E ∈ N C 1 N C 1 B F B N C 1
Запитання
- Чи було відомо, що булеві формули можна збалансувати в ( )? B F B ∈ A C 1
- Чи є простіший аргумент (наприклад, не покладаючись на ) для ? B F B ∈ A C 0