Класи складності у випадках, відмінних від «найгіршого»

Чи є у нас класи складності щодо, скажімо, середньої складності? Наприклад, чи існує (названий) клас складності для проблем, які потребують вирішення очікуваного часу полінома?

Інше питання розглядає найкращу складність справи , наведену нижче:

Чи існує клас (природних) проблем, вирішення яких потребує хоча б експоненціального часу?

Для уточнення, розглянемо деякі EXP -повний мови . Очевидно, що не всі екземпляри L вимагають експоненціального часу: Є екземпляри, про які можна вирішити навіть у многочлен. Отже, найкраща складність випадку L не є експоненціальним часом.$L$$L$$L$

EDIT: Оскільки виникло кілька неоднозначностей, я хочу спробувати уточнити це ще більше. Під складністю «кращого випадку» я маю на увазі клас складності, складність якого проблеми нижча, обмежена якоюсь функцією. Наприклад, визначте BestE як клас мов, який не може бути визначений у часі менше, ніж якийсь лінійний показник. Символічно нехай позначає довільну машину Тюрінга, а c , n 0 і n - натуральні числа:$M$$c$$n_0$$n$

$L \in \mathbf{BestE} \Leftrightarrow$ $\quad (\exists c)(\forall M)[(L(M) = L) \Rightarrow (\exists {n_0})(\forall n > {n_0})(\forall x \in {\{0,1\}^n})[T(M(x)) \ge {2^{c|x|}}]]$

де позначає тривалість часу, перш ніж M зупиняється на вході x .$T(M(x))$$M$$x$

Я погоджуюся, що визначення такого класу задач є дуже дивним, оскільки ми вимагаємо, щоб кожна машина Тьюрінга , незалежно від її потужності, не могла визначити мову в часі, меншій за деяку лінійну експоненцію.$M$

І все-таки зауважте, що аналог багаточленного часу ( BestP ) є природним, оскільки кожен апарат Тьюрінга вимагає часу хоча б прочитати його вхід.$|x|$

PS: Можливо, замість того, щоб оцінити як "для всієї машини Тьюрінга ", ми повинні обмежити його деяким заздалегідь заданим класом машин Тьюрінга, наприклад, машинами Тьюрінга в поліномі. Таким чином, ми можемо визначити такі класи, як B e s t ( n 2 ) , який є класом мов, що вимагає принаймні квадратичного часу, щоб визначитися з поліноміальними машинами Тьюрінга.$M$$\mathbf{Best(n^2)}$

PS2: Можна також розглянути аналог складності ланцюга, в якому ми розглядаємо найменший розмір / глибину схеми для визначення мови.

Хоча я не можу повністю розібрати ваші визначення, ви повинні знати, що відомі набагато сильніші ієрархії часу, зокрема "майже скрізь" ієрархії часу.

Ось формальне твердження: для кожного зв'язаного часу існує мова L ∈ T I M E [ T ( n ) ] з властивістю, що кожен детермінований алгоритм, який правильно розпізнає L, повинен працювати в часі асимптотично більше, ніж t ( n ) на всіх, крім кінцево багато входів, протягом досить невеликого часу t ( n ) . $T(n)$$L \in TIME[T(n)]$$L$$t(n)$$t(n)$

"Досить малий" означає .$t(n) \log t(n) \leq o(T(n))$

Припустимо , ми виберемо для прикладу, і отримати жорсткий мову L . Тоді будь-який алгоритм, який правильно розпізнає L, повинен зайняти щонайменше 2 n / n 2 рази на всіх входах минуло певну довжину. Це здається, що ви шукаєте у своєму класі BestE.$T(n)=2^n$$L$$L$$2^n/n^2$

Довідка:

John G. Geske, Dung T. Huynh, Joel I. Seiferas: Примітка про набори майже повсюди і складні набори та розділення класів детермінованого часу та складності Інф. Обчислення. 92 (1): 97-104 (1991)

Існує ряд класів, які намагаються вирішити різні поняття складності середнього випадку. У зоопарку складності деякі класи, які можуть вас зацікавити:

AvgP

HeurP

DistNP

(NP, P-зразок)

Arora / Barak охоплює багато подібних класів (у гл. 18), визначаючи distP, distNP та sampNP.

Точний взаємозв'язок між усіма цими класами характеризується п’ятьма світами Імпальяццо, про які раніше було задано інше питання .

Щодо питання складності "найкращого випадку", я не впевнений, що я цілком розумію, що ви маєте на увазі. Шукаєте EXP ?

Якщо ви маєте на увазі класи складності, визначені з точки зору найкращого часу запуску для всіх примірників, це апріорі не дуже хороший показник складності, оскільки ви б тільки розглядали тривіальні випадки будь-якої задачі.

$TIME[T(n)]$$\mathcal{C}$$L$$\mathcal{C}$$L' \subseteq L$$L' \in \mathcal{C}$$L$$\mathcal{C}$$L$$\overline{L} = \Sigma^* \backslash L$$\mathcal{C}$$\mathbf{BestE}$$E$

(Історична сторона: поняття імунітету вперше було розроблено Постом у 1944 р. В теорії обчислюваності, задовго до того, як Р навіть було визначено. Пост насправді вважався "простими множинами" - множина проста, якщо її доповнення незахищене. Теоретик обчислюваності, слово "імунітет" зазвичай означає "імунітет до обчислювальних множин". У цьому режимі імунітет еквівалентний "імунітету до сетів", оскільки кожен нескінченний набір ce містить нескінченний обчислювальний. Я вважаю, що документ Пост також був першим, хто запровадив Поняття про скорочення багатьох, але я не міг присягнутись на це.)

Різні випадки мають більше сенсу, коли говорити про алгоритми, а не про проблеми. З іншого боку, класи складності - це проблеми, а не алгоритми. Тому клас складності, який завжди є найгіршим випадком для будь-якого алгоритму, обумовлений визначенням.

Складно, ваша мета - знати кількість ресурсів, необхідних для вирішення будь-якого примірника заданої проблеми. Отже, ви знаєте, що для будь-якого конкретного примірника та алгоритму вам знадобляться ці ресурси і більше нічого.

При аналізі алгоритмів ваша мета полягає в тому, щоб алгоритм мав верхню межу для ресурсу в будь-якому випадку проблеми. Тривіальна межа є класом складності проблеми, оскільки жоден корисний (той, хто робить необхідні кроки) алгоритм не потребує більше часу. Однак ви можете покращити цю межу, враховуючи специфіку алгоритму.

$\Theta$

Що стосується найкращого випадку, для кожної проблеми неважко знайти найменшу кількість необхідних ресурсів. Припустимо, що вхід має довжину O (n), а вихід довжиною O (m). Тоді наступний TM M завжди працює в O (n) + O (m) для кращого випадку:

M {Введення, інстанція, рішення}

1. Порівняйте даний примірник із екземпляром, закодованим у машині.
2. Якщо вони рівні, поверніть розчин, закодований.
3. Інше, зробіть жорстокий пошук.

$O(1)$