Розпізнавання лінійних графіків гіперграфів

Лінійний графік гіперграфа - це (простий) графік G, що має ребра H, як вершини з двома ребрами H , сусідні з G, якщо вони не мають порожнього перетину. Гіперграф - це r -гіперграф, якщо кожен з його країв має максимум r вершин.$H$$G$$H$$H$$G$$r$$r$

У чому полягає складність наступної проблеми: Враховуючи графік , чи існує 3 -гіперграф H такий, що G - лінійний графік H ?$G$$3$$H$$G$$H$

Добре відомо, що розпізнавання лінійних графіків -гіперграфа є поліноміальним, і відомо (Poljak et al., Discrete Appl. Math. 3 (1981) 301-312), що розпізнавання лінійних графіків r -гіперграфів є NP -повне для будь-якого фіксованого r ≥ 4 . $2$$r$$r \ge 4$

Примітка. У випадку, коли у простих гіперграфів, тобто у всіх гіперзахисних даних, чітка проблема є NP-повною, як це було доведено в роботі Poljak et al.

Я знайшов журнальну версію передруку від Skums et al. вказаний @mhum; саме тут: Дискретна математика 309 (2009) 3500–3517 . Там автори виправили цитування так:

Ситуація докорінно змінюється, якщо брати замість k = 2 . Ловас поставив задачу щодо характеристики класу L 3 і зазначив, що він не характеризує скінченного списку заборонених індукованих підграфів ( кінцева характеристика ) [9]. Доведено, що задачі на розпізнавання " G ∈ L k " для " k ≥ 4 " [15], " G ∈ L l 3 " для k ≥ 3 та проблема розпізнавання графіків перетину ребер $k \ge 3$$k = 2$$L_3$$G \in L_k$$k \ge 4$$G \in L^l_3$$k \ge 3$$3$-однорідні гіперграфи без декількох ребер [15] є NP-повними.

Посилання 15 - вищезгадані Poljak et al. (1981).

Отже, я вважаю, що розпізнавання лінійних графіків гіперграфів (з дозволеними кількома краями) - ВІДКРИТТЯ ПРОБЛЕМА , і відповідь @ mhum справді була корисною у цьому знаходженні. Спасибі!$3$

Я не маю доступу до Poljak et al. статті, але реферат тут, схоже, вказує на те, що розпізнавання лінійних графіків -гіперграфів є NP-повним для r ≥ 3 , а не 4 . Також цитування в графах перетину Edge лінійних 3-рівномірних гіперграфів , Skums та ін. (pdf), схоже, вказує на те, що це так:$r$$r \geq 3$$4$

Ситуація принципово змінюється, якщо брати замість k = 2 . Ловас поставив задачу щодо характеристики класу L 3 і зазначив, що він не характеризується скінченним списком заборонених індукованих підграфів ( кінцева характеристика ) [10]. Доведено, що задачі на розпізнавання " G ∈ L 3 " [17] та " G ∈ L l k " для k ≥ 3 [5] є NP-повними.$k=3$$k=2$$L_3$$G \in L_3$$G \in L^l_k$$k\geq3$

Посилання 17 у цьому документі є вищезгаданими Poljak et al. (1981). - клас 3-рівномірних гіперграфів, а L l 3 - клас лінійних 3-рівномірних гіперграфів.$L_3$$L^l_3$