Мінімальне прольотове дерево над усіма вершинами відповідностей

Я зіткнувся з цією проблемою відповідності, для якої я не в змозі записати алгоритм багаточленного часу.

Дозволяє $P, Q$ бути повними зваженими графіками з наборами вершин $P_V$ і $Q_V$відповідно, де $|P_V| = |Q_V|=n$. Також нехай$w_P$ і $w_Q$ бути ваговими функціями на краях $P$ і $Q$відповідно.

Для біекція $f: P_V \to Q_V$ ми модифікуємо $Q$ таким чином: Якщо $f(p) = q$ і $f(p^\prime) = q^\prime$ з $w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$ потім встановити $w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$. Позначимо цей модифікований графік через$Q_f$ і нехай $W(Q_f)$ - сума ваг мінімального пролітного дерева $Q_f$.

Проблема: мінімізувати$W(Q_f)$ над усіма біекціями $f: P_V \to Q_V$.

Наскільки важка ця проблема? Якщо "важко": як щодо алгоритмів наближення?

(Перенесено з коментарів) Ось ідея для отримання постійного наближення фактора, припускаючи, що P і Q задовольняють нерівність трикутника. Я думав, що це може дати 2-наближення, але все, що я можу довести зараз, - це коефіцієнт наближення 4.

(1) У заданій, як зазначено, вазі ребра $pq$ у комбінованому графіку (після листування $p$-$p'$ і $q$-$q'$ визначається) є $\max\{P(pq),Q(p'q')\}$. Натомість скористаємося . Це втрачає щонайбільше коефіцієнт два, але полегшує опис проблеми: ми зараз намагаємося знайти дерево, що перебуває в , і ізоморфне дерево, що охоплює , з мінімальною загальною вагою. Тоді відповідність між і задається ізоморфізмом між цими двома деревами.$P(pq)+Q(p'q')$$P$$Q$$P$$Q$

(2) У знайдіть мінімальну пролітну дереву та використовуйте техніку туру Ейлера, що подвоює шлях, щоб знайти шлях, що має щонайменше вдвічі більше ваги. Зробіть те ж саме самостійно в . У результаті виходять два ізоморфних дерева (обидва контури), які є окремо щонайбільше вдвічі більшою за величину MST їхніх графіків, а отже, щонайбільше вдвічі більше, ніж рішення рішення на мінімальну задачу ізоморфного дерева, що охоплює, і в чотири рази перевищує вагу вихідної проблеми .$P$$Q$

(3) Початкова проблема є NP-повною, скороченням від гамільтонівського шляху. Нехай визначається з графіка, в якому ви хочете перевірити існування гамільтонівського шляху; визначимо коли - це край у і коли не є ребром. Нехай визначається точно так само з графіка шляху. Тоді існує рішення загальної вартості тоді і лише тоді, коли графік, з якого визначено має гамільтонів шлях. Ймовірно, це також може бути використане для доведення непереборності нижче деякої фіксованої постійної.$P$$P(pq)=1$$pq$$P$$2$$pq$$Q$$n-1$$P$