Коротка відповідь : дійсно мінімальні знання з математики для розуміння першої половини плану ДКТ, коли ви побачили трохи груп, кілець та полів, в основному викладені в главі 3 моєї дипломної роботи (безсоромний самовідвід ). Цей розділ, однак, є неповним, оскільки я не потрапляю до теорії репрезентації частини речей. Теорія представництва має вирішальне значення для другої половини плану (саме тому я працюю над розширенням цієї глави, щоб включити її).
Якщо ви дійсно хочете потрапити в ГКТ, симетрію, уявлення та інваріанти Гудмана та Валаха та дії та інваріанти алгебраїчних груп В. Феррера Сантоса , відносно автономні та мають багато хорошої інформації, що стосується GCT. Я не впевнений, чи є вони найкращими джерелами, з яких можна дізнатися, тому що я дізнався про них лише після того, як я дізнався багато з цього матеріалу, але вони хороші з точки зору співвідношення того, що вони охоплюють, до того, що стосується ГКТ. Фултон і Гарріс чудово підходять для теорії представлення, і багато прикладів / вправ у книзі стосуються GCT.
Більше відповідь : це дійсно залежить від того, що / скільки ви хочете дізнатися про ДКТ, як зазначив Віджай. Нижче наведені теми - це те, що, на мою думку, є необхідним фоном , оскільки це питання. Я не впевнений, що це повний список - я б рекомендував спробувати прочитати деякі статті про GCT, і коли ви загубитесь, перегляньте довідковий матеріал. Коли ви вивчаєте довідковий матеріал, кожен так часто повертається до паперів GCT і бачить, чи можете ви далі читати.
(Залежно від того, що ви хочете навчитися, я б фактично не погоджувався із Зейю, що спершу слід спробувати якусь закінчену комутативну алгебру, хоча в якийсь момент вивчення ГКТ це стане необхідним.)
Якщо ви хочете зрозуміти, наприклад, недавню статтю Mulmuley FOCS , вам потрібно зрозуміти:
- принцип твердості та випадковості (див. Імпальяццацо - Кабанець , а також, можливо , список робіт Білла Гасара про твердість проти випадковості )
- основна алгебраїчна геометрія аж до Nullstellensatz Гільберта та нормалізації летема Нотера. Їх можна знайти в будь-якому базовому підручнику з алгебраїчної геометрії та, ймовірно, у більшості конспектів лекцій.
- класична інваріантна теорія (для цієї роботи вам не потрібні геоемтричні інваріантні теорії, схеми та книга Мумфорда-Фогарті-Кірвана). Приходить на думку книга «Алгоритми Штурмфельса в інваріантній теорії» .
- Для певних результатів у роботі, але в жодному разі не для паперу, вам можуть знадобитися деякі (і ці посилання також можна знайти в статті): теорія представлення як у Фултона та Харріса , результати щодо матричних інваріантів [ Артін, Процесі, Разимслов], ...SLн
Якщо ви хочете зрозуміти загальний контур підходу до ДКТ, але в деяких математичних деталях , я б запропонував:
Проблема постійної проти визначальної. # P-повнота постійної та GapL-повнота детермінанта. Agrawal має хороше опитування (лише дуже незначно застаріле) щодо цього, і докази повноти можна знайти в книзі Бургіссера Повноти та скорочень теорії складності алгебраїків .
Групи та групові дії (алгебраїчні групи та алгебраїчні групові дії корисні, але не потрібні на цьому рівні). Ви повинні зрозуміти теорему стабілізації орбіти.
Афінна алгебраїчна геометрія через Nullstellensatz Гільберта. По суті, вам просто потрібно зрозуміти відповідність між афінними алгебраїчними різновидами та їх кільцями координат.
Г ЛнГ Лн
Якщо ви хочете глибоко зрозуміти, що відбувається (і я не впевнений, що я можу претендувати на те, що там ще є, але я думаю, що я знаю, що мені потрібно знати, щоб потрапити туди), ви, ймовірно, також повинні зрозуміти:
Структура відновних алгебраїчних груп та замикання орбіти в їх уявленнях. Мені подобається книга В. Феррера Сантоса за це, але також лінійні алгебраїчні групи Бореля , Класичні групи Вейля та інші класики.
Техніка Luna-Vust (теорема зрізів Луни, складність Luna-Vust)
Таннакіанська подвійність (див. Статтю Делінь - Мілн ; це буде важке читання без певного досвіду в теорії категорій та афінних алгебраїчних груп). Це по суті говорить про те, що "(про-) афінні алгебраїчні групи визначаються їх уявленнями". Я не думаю, що вам потрібен весь документ, а не як відновити групу з її категорії представництв (Кор. 3.4).
Більш теорія представлення , особливо в застосуванні до координатних кілець алгебраїчних груп та їх замикань на орбіту. Мені дуже подобається книга Гудмена та Уоллаха за це, тим більше, що вона в основному є самодостатньою, і в ній є багато саме того, що потрібно для розуміння ДКТ. (Крім того, багато експозиційних / бічних розділів та вправ у Фултоні та Харрісі є правильними на знак ДКТ, особливо ті, що стосуються коефіцієнтів Літтлвуда-Річардсона та Кронекера.)
Якщо ви хочете насправді працювати над теорією представлення , ви, мабуть, хочете зрозуміти більше алгебраїчної комбінаторики / теорії комбінаторного представлення. Я не знаю всіх правильних посилань на це, але, безумовно, розуміння правила Літтлвуда-Річардсона є обов'язковим, і книга Фултона "Young Tableaux" добре для цього.
Найсвіжіші документи з цієї сторони речей, про які я знаю, - це Блазяк , Кумар , Боуман, Де Вісшер та Ореллана .
Залежно від того, в якому напрямку ви хочете піти, ви також можете розглянути квантові групи, хоча це необов'язково потрібно (зверніть увагу: це не окремий випадок груп, а скоріше узагальнення в певному напрямку).
Що стосується більш геометричної сторони речей , то вам захочеться розглянути такі речі, як диференціальна геометрія для дотичних та коливальних просторів, кривизна, подвійні різновиди тощо, які лежать в основі найвідомішої нижньої межі на завивку та дет завдяки Міньйнону - Рессейр, а за ним Ландсберг - Манівель - Рессайр . ( Міньйон - Рессайре можна зрозуміти без будь-якого з цих речей, але ви можете розцінювати їхній документ нескінченно, як вивчення кривизни певних різновидів; для менш слабкого зору див. Використання подвійних сортів у Ландсберг - Манівель - Рессайр . ) (Див. Також Кай, Чен і Лі , що поширює Міньйона - Рессайера на всі дивні характеристики.) Див. Також Ландсберг і Кадіш .
Якщо вас цікавить підхід GCT до множення матриць , все стосується тензорних рангів, граничних рангів та секантних різновидів. Я б запропонував переглянути статті Бургіссера - Ікенмайєра , Ландсберга та Оттавіані , Ландсберга , опитування та книги Ландсберга . Звичайно, також було б добре знати класичний матеріал про множення матриць (як у верхній, так і в нижній частині), але це ціла окрема банка глистів.