Необхідна умова для вивчення ГКТ


38

Здається, що теорія геометричної складності потребує знань з чистої математики, такої як алгебраїчна геометрія, теорія представлення.

Хоча я студент CS та НЕ маю класів дуже абстрактної та чистої математики, мене цікавить ця програма.

Чи є перелік "мінімальних знань" для вивчення цієї теорії?

Цей список включає конспекти лекцій з кафедр CS чи математики, опитування будь-якого журналу чи конференцій та підручники з чистої математики.

[ EDIT: Додано пізніше ] Дякую за коментарі.

Загальна теорія обчислень: я читав книгу Сіпсера з назвою "Вступ до теорії обчислень"

Теорія складності: Зокрема, мене цікавлять конкретні моделі для нижньої межі складності. Таким чином, я прочитав частину "конкретних нижніх меж" у текстовій книзі Арора-Барак. Я також маю основні знання в декількох розділах книги про складність спілкування, написаної Нісаном.

Основна математика: Я дізнався про доказову лінійну алгебру, таку як загальне визначення векторного простору тощо, а також чітко аргумент обчислень, заснований на аргументі epsilon-delta.

Алгебра: я дізнався про визначення та приклади групи, кільця та поля. У мене був клас для студентів з кс, і я не дізнався про загальну тоерію цієї алгебраїчної системи.


3
це допоможе, якщо ви сказали більш точно, скільки теорії складності, лінійної алгебри, алгебри ви знаєте. Ви також повинні вказати свою мету. Вимоги до загальної картини на високому рівні відрізняються від виконання проекту в даній місцевості.
Vijay D



Спробуйте спочатку деяку випускну алгебру, особливо комутативну алгебру.
Зейю

Відповіді:


44

Коротка відповідь : дійсно мінімальні знання з математики для розуміння першої половини плану ДКТ, коли ви побачили трохи груп, кілець та полів, в основному викладені в главі 3 моєї дипломної роботи (безсоромний самовідвід ). Цей розділ, однак, є неповним, оскільки я не потрапляю до теорії репрезентації частини речей. Теорія представництва має вирішальне значення для другої половини плану (саме тому я працюю над розширенням цієї глави, щоб включити її).

Якщо ви дійсно хочете потрапити в ГКТ, симетрію, уявлення та інваріанти Гудмана та Валаха та дії та інваріанти алгебраїчних груп В. Феррера Сантоса , відносно автономні та мають багато хорошої інформації, що стосується GCT. Я не впевнений, чи є вони найкращими джерелами, з яких можна дізнатися, тому що я дізнався про них лише після того, як я дізнався багато з цього матеріалу, але вони хороші з точки зору співвідношення того, що вони охоплюють, до того, що стосується ГКТ. Фултон і Гарріс чудово підходять для теорії представлення, і багато прикладів / вправ у книзі стосуються GCT.

Більше відповідь : це дійсно залежить від того, що / скільки ви хочете дізнатися про ДКТ, як зазначив Віджай. Нижче наведені теми - це те, що, на мою думку, є необхідним фоном , оскільки це питання. Я не впевнений, що це повний список - я б рекомендував спробувати прочитати деякі статті про GCT, і коли ви загубитесь, перегляньте довідковий матеріал. Коли ви вивчаєте довідковий матеріал, кожен так часто повертається до паперів GCT і бачить, чи можете ви далі читати.

(Залежно від того, що ви хочете навчитися, я б фактично не погоджувався із Зейю, що спершу слід спробувати якусь закінчену комутативну алгебру, хоча в якийсь момент вивчення ГКТ це стане необхідним.)

Якщо ви хочете зрозуміти, наприклад, недавню статтю Mulmuley FOCS , вам потрібно зрозуміти:

Якщо ви хочете зрозуміти загальний контур підходу до ДКТ, але в деяких математичних деталях , я б запропонував:

  • Проблема постійної проти визначальної. # P-повнота постійної та GapL-повнота детермінанта. Agrawal має хороше опитування (лише дуже незначно застаріле) щодо цього, і докази повноти можна знайти в книзі Бургіссера Повноти та скорочень теорії складності алгебраїків .

  • Групи та групові дії (алгебраїчні групи та алгебраїчні групові дії корисні, але не потрібні на цьому рівні). Ви повинні зрозуміти теорему стабілізації орбіти.

  • Афінна алгебраїчна геометрія через Nullstellensatz Гільберта. По суті, вам просто потрібно зрозуміти відповідність між афінними алгебраїчними різновидами та їх кільцями координат.

  • GLnGLn

Якщо ви хочете глибоко зрозуміти, що відбувається (і я не впевнений, що я можу претендувати на те, що там ще є, але я думаю, що я знаю, що мені потрібно знати, щоб потрапити туди), ви, ймовірно, також повинні зрозуміти:

  • Структура відновних алгебраїчних груп та замикання орбіти в їх уявленнях. Мені подобається книга В. Феррера Сантоса за це, але також лінійні алгебраїчні групи Бореля , Класичні групи Вейля та інші класики.

  • Техніка Luna-Vust (теорема зрізів Луни, складність Luna-Vust)

  • Таннакіанська подвійність (див. Статтю Делінь - Мілн ; це буде важке читання без певного досвіду в теорії категорій та афінних алгебраїчних груп). Це по суті говорить про те, що "(про-) афінні алгебраїчні групи визначаються їх уявленнями". Я не думаю, що вам потрібен весь документ, а не як відновити групу з її категорії представництв (Кор. 3.4).

  • Більш теорія представлення , особливо в застосуванні до координатних кілець алгебраїчних груп та їх замикань на орбіту. Мені дуже подобається книга Гудмена та Уоллаха за це, тим більше, що вона в основному є самодостатньою, і в ній є багато саме того, що потрібно для розуміння ДКТ. (Крім того, багато експозиційних / бічних розділів та вправ у Фултоні та Харрісі є правильними на знак ДКТ, особливо ті, що стосуються коефіцієнтів Літтлвуда-Річардсона та Кронекера.)

Якщо ви хочете насправді працювати над теорією представлення , ви, мабуть, хочете зрозуміти більше алгебраїчної комбінаторики / теорії комбінаторного представлення. Я не знаю всіх правильних посилань на це, але, безумовно, розуміння правила Літтлвуда-Річардсона є обов'язковим, і книга Фултона "Young Tableaux" добре для цього.

Найсвіжіші документи з цієї сторони речей, про які я знаю, - це Блазяк , Кумар , Боуман, Де Вісшер та Ореллана .

Залежно від того, в якому напрямку ви хочете піти, ви також можете розглянути квантові групи, хоча це необов'язково потрібно (зверніть увагу: це не окремий випадок груп, а скоріше узагальнення в певному напрямку).

Що стосується більш геометричної сторони речей , то вам захочеться розглянути такі речі, як диференціальна геометрія для дотичних та коливальних просторів, кривизна, подвійні різновиди тощо, які лежать в основі найвідомішої нижньої межі на завивку та дет завдяки Міньйнону - Рессейр, а за ним Ландсберг - Манівель - Рессайр . ( Міньйон - Рессайре можна зрозуміти без будь-якого з цих речей, але ви можете розцінювати їхній документ нескінченно, як вивчення кривизни певних різновидів; для менш слабкого зору див. Використання подвійних сортів у Ландсберг - Манівель - Рессайр . ) (Див. Також Кай, Чен і Лі , що поширює Міньйона - Рессайера на всі дивні характеристики.) Див. Також Ландсберг і Кадіш .

Якщо вас цікавить підхід GCT до множення матриць , все стосується тензорних рангів, граничних рангів та секантних різновидів. Я б запропонував переглянути статті Бургіссера - Ікенмайєра , Ландсберга та Оттавіані , Ландсберга , опитування та книги Ландсберга . Звичайно, також було б добре знати класичний матеріал про множення матриць (як у верхній, так і в нижній частині), але це ціла окрема банка глистів.


1
+1 ps: було б чудово, якщо ви також можете додати посилання на документи та книги у відповідь.
Каве

1
Чи потрібна загальна теорія топології?
сюча

4
Я відчуваю, що вся ця історія одноголосно відкладена вам на цьому. Чудова відповідь. Якщо ви позначили частини "Якщо ви хочете" більш помітно, структура вашої відповіді буде більш наочною.
Vijay D

6
Джош - наш місцевий експерт :)
Суреш Венкат

2
@syucha: Залежно від того, що ви маєте на увазі під "загальною теорією топології", скажіть, як зазвичай викладають у курсі нижньої топології, НІ. Вам не потрібно знати про більшість топологій набору точок. Однак, розуміння основ топології є корисним для розуміння алгебраїчної геометрії (див. Топологію Заріського) та диференціальної геометрії (для якої вам справді потрібна топологія багатозначень, а не загальна топологія топології). Більш глибокі речі з топології, як снопи та векторні пачки, корисні для деяких глибших речей у GCT.
Джошуа Грохов
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.