Комплексний аналіз в теоретичній інформатиці

24

Існує багато застосувань реального аналізу в теоретичній інформатиці, що охоплює тестування властивостей, складність спілкування, навчання PAC та багато інших галузей досліджень. Однак я не можу придумати жодного результату в TCS, який спирається на складний аналіз (поза квантовими обчисленнями, де складні числа є сутнісними в моделі). Хтось має приклад класичного результату TCS, який використовує складний аналіз?

soft-question big-picture

1

Чудове запитання! Я б припустив, що було б краще виключити результати, пов'язані з теорією чисел - наприклад, будь-яке використання гіпотези Рімана - а не квантові обчислення, які, як правило, стосуються кінцевомірних систем (наскільки я знаю).

— Колін МакКійлан

11

Ми використовуємо комплексний аналіз у роботі "Константа Гротендіка суворо менша, ніж межа Кривіна", яка (з точки зору TCS) дає алгоритм апроксимації для задачі максимізації

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$ умови

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$ . Дивіться ttic.uchicago.edu/~yury/papers/grothendieck-krivine.pdf

— Юрій

3

@Юрі, що цілком може відповісти.

— Суреш Венкат

14

Комплексний алгоритм Барвінок для наближення алгоритмів постійного поліноміального часу до апроксимації постійних та змішаних дискримінантів у просто експоненціальному коефіцієнті .

Крім того, очевидно, що в квантових обчисленнях важливі складні оператори (і деякий складний аналіз).

Дозвольте також порекомендувати цю книгу: Теми в аналітиці ефективності Ейтана Бахма з великою кількістю важливих питань та інших речей.

— Гіл Калай
джерело

Це чудовий приклад, я не знав цього результату - дякую!

25

Це не єдина проблема, але все поле аналітичної комбінаторики (див. Книгу Флайолета та Седжевіка ) досліджує, як проаналізувати комбінаторну складність ~~підрахунку~~ структур (або навіть час роботи алгоритму), записавши відповідну функцію генерування та аналізуючи структуру складних рішень.

— Суреш Венкат
джерело

Привіт Суреш, що ти маєш на увазі під «аналізом складності»?

— Енді Друкер

2

Ах, я неправильно написав. Я мав на увазі "проаналізувати комбінаторну складність структур" - виправлю.

— Суреш Венкат

15

Джон Келнер виграв нагороду «Найкращий студентський папір STOC» у 2004 році за свою працю «Спектральний розподіл, власні межі та упаковки кола для графіків обмеженого роду».

Я просто цитую з реферату:

Як наша основна технічна лема, ми доводимо, що O (g / n) пов'язаний з другим найменшим власним значенням Лаплакіана таких графіків, і показуємо, що це тісно, тим самим вирішуючи гіпотезу Спілмана і Тенга. Хоча ця лема по суті є комбінаторним за своєю суттю, її доказ походить з безперервної математики, спираючись на теорію кругових упаковок та геометрію компактних Ріманових поверхонь.

Використання складного аналізу (та інших "безперервної математики") для нападу на "традиційні" проблеми з роздільником графіків було пам'ятним, і це головна причина, коли ця робота застрягла в моїй голові, хоча це абсолютно не пов'язане з моїми дослідженнями.

— Мугізі Рувангіра
джерело

8

Я думаю, що вас може зацікавити складний аналіз, що використовується безпосередньо в доказі. Однак ось два приклади з класу «Алгоритми випускників», який я зараз відвідую:

a) Швидке перетворення Фур'є, наприклад, що використовується при множенні многочлена. Хоча реалізація може бути виконана за модульною арифметикою або плаваючою точкою (і деяким арифметичним аналізом), доказ найкраще розуміти з точки зору складних чисел та їх коренів єдності. Я не заглиблювався в тему, але знаю, що FFT має широке коло застосувань.

б) Взагалі, оснащення моделі оперативної пам'яті здатністю керувати складними числами в постійний час (реальні та уявні частини все ще мають кінцеву точність) дозволяє розумно кодувати проблеми та використовувати властивості складних чисел, які можуть виявити рішення (див. також коментарі, чому це не дозволить вам бути швидшими).

— хазизоп
джерело

Чи є у вас приклад другого спостереження? Додано до стандартної оперативної пам'яті клас "О (log n) -бітове ціле число" тривиально з операціями постійного часу. Або "швидше", ви маєте на увазі "швидше в 2 рази?"

— Jeffε

Це була вправа з лекції: "Припустимо, ви маєте справу з розширеною оперативною пам'яттю, яка може обчислити складні числа за одиницею вартості на множення, ділення, додавання та віднімання. Крім того, вона також може обчислити абсолютне значення | c | a комплексне число c в одиницю часу. Більше того, воно «знає» комплексні константи 0, 1 і i. Покажіть, що за даного додатного цілого числа n на такій розширеній ОЗУ число n! може бути обчислено в

час. У рішенні використовується поліноміальне множення, наскільки я знаю, це швидше, ніж у стандартній моделі ОЗУ.

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— chazisop

6

Запропонований алгоритм вимагає постійної арифметики постійної тривалості в часі. (Ви не можете обчислити ціле число

-біт за

час, використовуючи машину з

-бітовими словами, тому що ви навіть не встигли б записати вихід!) Питання задає вам додати квадратні корені до реальної моделі оперативної пам’яті, а не складні цифри самі по собі.

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Jeffε

Дякую за коментар, це дуже освічуюче. Думаю, я повинен оновити свою відповідь на частину лише розумного кодування проблеми зі складними числами, тобто щоб побачити рішення, яке б ви пропустили інакше.

— chazisop

6

Можливо, ця програма дещо між математикою TCS та Disc, але я трохи здивувався, коли прочитав статтю Петра Савіцького "Про зігнуті булеві функції, які є симетричними" (http://www2.cs.cas.cz/~savicky/) папери / симетричні.ps). Теореми стосуються лише булевих функцій, проте в одному з доказів використовуються складні числа.

— Знайти Магнуса
джерело

5

Ми використовуємо теорему залишків Коші з комплексного аналізу як основний технічний інструмент у нашому документі " Апроксимація лінійних предикатів порогу ".

— MCH
джерело

5

Теорема упаковки кола Кобі-Андреєва-Терстона бере початок у теоремі Рімана-картографування і має різні алгоритмічні аспекти. Для іспиту це підтверджує доказ теореми сепера Ліптона-Тарджана для плоских графіків.

— Гіл Калай
джерело

5

Свіже з духовки:

Поліноміальний алгоритм часу для відновлення втрачених чисельності Автор: Анкур Моітра, Майкл Сакс

Цитуючи з статті: "Тут ми доведемо принцип невизначеності, викладений у попередньому розділі, використовуючи інструменти комплексного аналізу. Мабуть, однією з найкорисніших теорем для розуміння швидкості зростання голоморфних функцій у складній площині є теорема Три кола Хадамарда. .. "

— Гіл Калай
джерело

Дозвольте коротко навести тему використання теореми трьох кіл у цій роботі. Для того, щоб мінімізувати величину

яка задовольняє деяким лінійним обмеженням, вони дивляться на дуал цього LP. Розглядаючи подвійні змінні як коефіцієнти многочлена, це стає еквівалентом максимізації

над усіма ступенями

поліс

задовольняють

де

є

складеним афінним перетворенням і

σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$ позначає суму коефіцієнтів abs.

— arnab

(продовження) Тепер прекрасне спостереження полягає в тому, що

де

- одиничний диск у складній площині радіуса 1. Якщо ми використовуємо це релаксацію, проблема зводиться до максимізація

умови, що

обмежений

на менший диск всередині

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$ . Здійснюючи перетворення координат, ми опиняємось у постановці теореми «Три кола»: голоморфна функція обмежена точками у двох концентричних колах, що обмежує функцію на будь-якому колі проміжного радіуса.

— arnab

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$ if

p

$p$ is bounded by

1

$1$ over a smaller disc inside

D_{1}

$D_1$ . (Thanks to a wonderful talk by Mike Saks explaining the paper.)

— arnab

5

In Section A.4 of this paper we use complex analysis, which leads us to a derandomization of Indyk's algorithm for $\ell_p$ estimation in data streams ( $0 < p < 2$ ) that provides optimal space guarantees:

Daniel M. Kane, Jelani Nelson, David P. Woodruff. On the Exact Space Complexity of Sketching and Streaming Small Norms. SODA 2010.

You can get away with writing a proof that doesn't mention complex analysis explicitly (see the first bullet in the "notes" section for that paper on my webpage), but even that proof has complex analysis lurking under the covers.

— Jelani Nelson
джерело

4

There is use of complex numbers and analysis in a recent paper by Naor, Regev and Vidick, yielding results in approximation algorithms for NP-hard optimization problems: http://arxiv.org/abs/1210.7656

— Clement C.
джерело

Yet another paper that makes use of random roots of unity is Daniel M. Kane, Kurt Mehlhorn, Thomas Sauerwald, and He Sun. Counting Arbitrary Subgraphs in Data Streams. ICALP 2012.

— Jelani Nelson

3

Recently Vishnoi gave an algorithm which finds TSP tours of length at most $n + O(n/\sqrt{k})$ in a $k$ -regular simple graphs (talk & blog). The analysis crucially uses the van der Waerden conjecture (aka the Egorychev-Falikman theorem): the permanent of any doubly stochastic $n \times n$ matrix is at least $n!/n^n$ . Egorychev and Falikman's proofs used deep results in convex geometry (in particular the Alexandrov-Fenchel inequality). On the other hand, a recent proof by Gurvits uses only elementary complex analysis and is quite a gem (nice presentation by Laurent and Schrijver in the MAA Monthly). Leaving the real line for the complex plane seems essential to Gurvits's proof and simplifies matters a lot.

— Sasho Nikolov
джерело

0

there is some research showing undecidability associated with various aspects of computation of the Mandelbrot set, a famous, prototype fractal which is computed using complex numbers and counting the number of iterations associated with the equation $z \leftarrow z^2 + c$ to reach an unbounded increasing sequence. a detailed account and survey can be found in [1], which appeared in a physics journal but with heavy use of TCS concepts eg Turing Machines etc. an early ref [2] by Blum concludes that the Mandelbrot set is not decidable.

[1] Inaccessibility and undecidability in computation, geometry, and dynamical systems Asaki Saito, Kunihiko Kaneko

[2] A theory of computation and complexity over the real numbers Lenore Blum, 1990

— vzn
джерело

0

Nister, Hartley, and Stewenius used Galois theory to prove the optimality of certain algorithms in computer vision. While not specifically an instance of Complex Analysis, this work is intimately associated with $\mathbb{C}$ because of the fundamental theorem of algebra.

— Reb.Cabin
джерело