Ігри Ehrenfeucht-Fraïssé (фактично Ajtai-Fagin) для звичайних мов.

Immerman (Descriptive Complexity, 1999) представляє ігри EF для екзистенціальної монадики другого порядку (ігри Ajtai-Fagin) на сторінці 127. Оскільки MSO на слова еквівалентні звичайним мовам, гру можна записати так. $\exists$

Мова є регулярною, якщо і лише якщо у Деліла немає стратегії виграшу в наступній грі: 1. Самсон вибирає , 2. Деліла вибирає , 3. Самсон вибирає підмножини множини положень у (тобто $L \subseteq \{a, b\}^*$
$c, m \in \mathbb{N}$
$w \in L$
$c$ $C_1^w, \ldots, C_c^w$ $w$ $\{0, \ldots, |w|-1\}$ ),
4. Деліла хоси і підмножини множини позицій в , 5. Самсон і Деліла грають у гру повернення EF на і $v \not\in L$ $c$ $C_1^v, \ldots, C_c^v$ $v$
$m$ $(\mathfrak{S}(w), C_1^w, \ldots, C_c^w)$ , де- структура, пов'язана зі словом, тобто: з $(\mathfrak{S}(v), C_1^v, \ldots, C_c^v)$
$\mathfrak{S}(w)$ $w$

S (w) = ⟨ {0, \dots, | w | - 1}, S U C C, Q_{a}, Q_{b} ⟩

$\mathfrak{S}(w) = \langle \{0, \ldots, |w|-1\}, SUCC, Q_a, Q_b \rangle$

, а

- це бінарний предикат наступника.

Q_{l} = {p | w_{p} = l}

$Q_l = \{p \;|\; w_p = l\}$

S U C C

$SUCC$

У мене є два питання:
- Як можна показати, що не є регулярним, використовуючи такий аргумент EF, - чи легше / важче грати в ці ігри (показати нерегулярність), коли у вас є впорядкування, а не відношення до наступника? (Ці еквівалентні в МСО). $\{a^nb^n \;|\; n \in \mathbb{N}\}$

lo.logic automata-theory descriptive-complexity

— Міхаель Каділхак
джерело

Ми дамо виграшну стратегію для Деліли. Нехай Самсон обирає свій і . Тоді Деліла вибирає для великого яке буде визначено пізніше. Нехай Самсон обирає свої підмножини які ми розглядаємо як забарвлення положень з кольорами . Нехай обозначіма цього забарвлене слова. Мета Деліли в цій точці - знайти відрізок $c$ $m$ $w = a^n b^n$ $n$ $C^w_1,\ldots,C^w_c$ $w$ $2^c$ $w'$ of із наступними властивостями для та які слід обрати пізніше: $w'[i,\ldots,j]$ $w'$ $r$ $t$

(таким чином відрізок належить до першої частини ), $0 \leq i \leq j \leq n$ $w'$
в -окрестності (околиці радіуса ) з і в ізоморфні, $r$ $r$ $i$ $j$ $w'$
для кожного , в - околиці в з'являється як -окрестностью , щонайменше , інших позицій . $k \in [i,\ldots,j]$ $r$ $k$ $w'$ $r$ $t$ $w'$

Якщо їй вдасться це зробити, то вона вибере своє кольорове слово Якщо - слово лежить основі , воно буде випливати з цього

v^{'} = w^{'} [0, \dots, i - 1] w^{'} [i, \dots, j]^{2} w^{'} [j + 1, \dots, 2 n - 1] .

$v' = w'[0,\ldots,i-1] w'[i,\ldots,j]^2 w'[j+1,\ldots,2n-1].$

v

$v$

a, b

${a,b}$

v^{'}

$v'$

v

$v$ не належить

(бо ми накачуванні непорожньої сегмента «s), і Даліда має виграшну стратегію в

-Turn EF ігор на

(це випливає з теореми Hanf, якщо

є досить великі щодо

; див. теорему 1.4.1 у книзі Ебінгауза та Флума "Теорія кінцевих моделей").

L

$L$

a

$a$

m

$m$

w^{'}

$w'$

v^{'}

$v'$

r

$r$

t

$t$

c

$c$

m

$m$

$n$ $c$ $m$ $r$ $t$ $w'[i,\ldots,j]$ $r$

Це працювало для структур-наступників. З лінійним порядком це буде трохи складніше, але я не дуже думав про це.

Зауважимо, що не дивно, що цей аргумент трохи схожий на "перекачування" аргументу в автоматах. Однак це не так нерозумно, як просто переклад формули на автомат. Я думаю, що це розцінюється як модельно-теоретичний аргумент.

— slimton
джерело

Хіба моя відповідь не переконує вас?

— slimton

На жаль, вибачте, звичайно. Хоча мені було б дуже цікаво подивитися, що це було б з лінійним порядком (і, таким чином, без місцевості Ханфа). Дякую за цю відповідь!

— Michaël Cadilhac