Яке правильне визначення

Як випливає з назви, яке правильне визначення -трета? Існує декілька робіт, які розповідають про k -трети і часткові k -треї як альтернативні визначення графіків з обмеженою шириною ширини, і я бачив багато, здавалося б, неправильних визначень. Наприклад, щонайменше одне місце визначає k -трети так:$k$$k$$k$$k$

Графік називається -графом тоді і тільки тоді, коли або G є повним графіком з k вершинами, або G має вершину v зі ступенем k - 1 таким, що G ∖ v - k- дерево. Часткове k- дерево - це будь-який підграф k- дерева.$k$$G$$k$$G$$v$$k − 1$$G \setminus v$$k$$k$$k$

Згідно з цим визначенням, можна створити такий графік:

1. Почніть з краю , 2- дерева.$(v_1, v_2)$$2$
2. Для створіть вершину v i та зробіть її сусідньою з v i - 1 та v i - 2 .$i=1\ldots n$$v_i$$v_{i-1}$$v_{i-2}$

Це дозволить створити смужку з квадратів з діагоналями. Так само ми можемо почати створювати смугу від першого квадрата в напрямку, ортогональному до смуги вгорі. Тоді у нас був би перший рядок і перший стовпець сітки n × n . Заповнення сітки легко, створюючи вершини та приєднуючи їх до вершин угорі та зліва.$n$$n \times n$

Кінцевим результатом є графік, що містить сітку, яка, як відомо, має ширину n .$n\times n$$n$

Правильне визначення -трей має бути наступним:$k$

Графік називається -графом тоді і тільки тоді, коли або G є повним графом з k вершинами, або G має вершину v зі ступенем k - 1 таким чином, що сусід v утворює k -clique, а G v - a k -дерево.$k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$$k$$G \ v$$k$

Потім графік, подібний до сітки, описаний вище, неможливо створити.

Я прав?

Я в основному погоджуюся з вами, лише з крихітною модифікацією:

Графік $G$ є $k$ -графом тоді і тільки тоді, якщо або $G$ є повним графіком з $k+1$ вершинами, або $G$ має вершину $v$ такою, що (відкрита) околиця $v$ утворює $k$ -clique, а $G - v$ - a $k$ дерево.

$v$$k$$k-1$

Я особисто віддаю перевагу визначенню знизу вгору, але це лише питання смаку:

• $k+1$$k$
• $k$$G$$n+1$$n\ge k+1$$k$$H$$n$$k$$k$$H$
• $k$

Це визначення є дещо модифікованою версією дефініції з лекційних записок Пінара Хеггернеса .