Які складності мають наступні підмножини SAT?

Припустимо, $P \neq NP$

Нехай використовувати наступні позначення для тетрації (тобто ${}^ia$ ). ${}^ia = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}_{i \mbox{ times}}$

| х | - розмір екземпляра x.

Нехай L - мова, $L|_{f(i)\leq |x| < g(i)} := \{ x \in L \mbox{ | } \exists i \in \mathbb{N}\mbox{, } f(i) \leq |x| < g(i) \}$

У чому полягає складність наступних мов:

$L_1 = SAT|_{{}^{2i}2 \leq |x| < {}^{2i+1}2}$ $L_2 = SAT|_{{}^{2i+1}2 \leq |x| < {}^{2i+2}2}$

Як , вони не можуть бути як в Р в припущенні , що . Оскільки в обох є експоненціальні отвори, я не думаю, що SAT можна зменшити до одного. $L_1 \sqcup L_2 = SAT$ $P \neq NP$

Звідси інтуїція полягає в тому, що вони обоє в NPI, але я не можу знайти доказ чи спростування.

Дві інші мови - $L_3 = SAT|_{|x|={}^{2i+1}2}$ $L_4 = SAT|_{|x|={}^{2i}2}$

Якщо один з обох знаходиться в NPC, інший - у P, оскільки для кожного екземпляра одного він не може бути перетворений на більший екземпляр другого, оскільки він має експоненціальний розмір, а примірники малечі мають логарифмічний розмір. Все-таки по інтуїції немає причин, чому вони мали б іншу складність. Якою була б їх складність?

Доказ Ладнера щодо проблем NPI за припущенням використовує такі мови, як або , але і не будуються за допомогою діагоналізації. $P \neq NP$ $L_1$ $L_2$ $L_1$ $L_2$

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— Людовик Патей
джерело

У ваших мовах є багато примірників, доповнених додаванням додаткових пропозицій, які не взаємодіють між собою. Отже, вони здаються NPI аргументом діагоналізації Шенінга? dx.doi.org/10.1016/0304-3975(82)90114-1

— András Salamon

Після "вони не можуть бути обома в P", слід сказати "за умови, що P

NP ..."

\neq

$\ne$

— Еміль

Я додав "під припущенням", навіть якщо я вже встановив це припущення раніше.

— Людовик Патей

Якщо або L1, або L2 не завершені NP, тоді конституція ізоморфізму виходить з ладу, оскільки ні L1, ні L2 не є циліндром (має функцію прокладки). Тому доказ того, що один з них є повним NP, вимагає нерелятивізуючих методів. Я ще не бачу жодного бар'єру для того, щоб показати, що одна з них не є повною NP.

— Джошуа Грохов

Можливо, мені було трохи незрозуміло з моїми кванторами. Дозвольте додати круглі дужки: не існує багаторазової машини Oracle

такої, що [для всіх

[

вирішує

]]. Тобто, для будь-якого

, може бути , що для деякого X,

вирішує одну з мов, але це не може бути правдою для всіх

. Так, наприклад,

без оракула може вирішити

(нереалізований), але незалежно від того, що

M

$M$

X

$X$

M^{X}

$M^X$

L_{1}^{X} o r L_{2}^{X}

$L_1^X or L_2^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

X

$X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

M

$M$ це буде якийсь оракул, який не вирішує жодної мови.

— Джошуа Грохов

Я думаю, що обидва NPI мають більш сильне припущення (але, очевидно, правда), що NP не в "нескінченно часто P" - тобто кожен алгоритм багаточленного часу A і кожен достатньо великий n, A не вдається вирішити SAT на входах довжини n.

У цьому випадку таких мов немає в P, але вони також не можуть бути NP повними, оскільки в іншому випадку скорочення від SAT до мови L з великими отворами дасть алгоритм для SAT, який досягає успіху в цих отворах.

Таке припущення також є необхідним, оскільки в іншому випадку мови можуть бути на P або NP-повному, залежно від того, де розташовані "легкі довжини введення".

— Боаз Барак
джерело

@Boaz: Я начебто розумію, що ви маєте на увазі під "таким припущенням необхідним", але у мене виникають проблеми з формалізацією необхідності. Я думаю , що без особливих труднощів можна побудувати оракул

, таким чином, що

, є багаточасова машина

така, що

вирішує

на нескінченно багато вхідних довжин, але

проміжними.

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

L_{2}^{X}

$L_2^X$

N P^{X}

$NP^X$

— Джошуа Грохов

N P \neq P

$NP\neq P$

N P \neq P

$NP\neq P$

L_{1}

$L_1$

L_{1}

$L_1$

P

$P$

L_{2}

$L_2$

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X \in P$

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X\in P$

M

$M$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

X

$X$

P_{1} \in P

$P_1\in P$

M \in P^{X}

$M\in P^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

X

$X$

S A T

$SAT$

X

$X$

X

$X$

S A T^{X}

$SAT^X$