Знаходження непарних отворів у графіках Палі

Пелі графи Р _д є ті, вершина якого-безліч задається кінцевим полем GF (Q) для ступенів простих чисел q≡1 (мод 4), і де дві вершини суміжні тоді і тільки тоді , коли вони відрізняються на ² для деяких a ∈ GF (q). У випадку, коли q є простим, кінцеве поле GF (q) - це лише множина цілих чисел, модуль q.

В останній роботі Майстреллі та Пенман показують, що єдиний граф Палі, який є ідеальним (маючи хроматичне число, що дорівнює розміру його найбільшої кліки), - це дев'ять вершин. Це, зокрема, означає, що жоден із графіків Палі P _{q не} є ідеальним для q простих.

Сильний Ідеальний графік теорема стверджує , що граф G є досконалим , якщо і тільки якщо обидва G і його доповнення не вистачає непарні отвори (індукований підграф , який являє собою цикл непарної довжини, а розмір по крайней мере , 5.) Пелі графи простого порядку є самодоповнюючий і недосконалий; тому вони повинні містити непарні отвори.

Питання. Для простих q≡1 (mod 4) чи існує алгоритм poly (q) для пошуку непарного отвору в P _q ? Чи існує алгоритм полілогу (q)? Дозволені випадковість і популярні теоретичні припущення про число.

Я вважаю, що існує відомий алгоритм poly (q). Моє розуміння алгоритму Чудновського, Корнуежольса, Лю, Сеймура та Вушковича, "Розпізнавання графіків Бержа", " Комбінаторика 2005" , полягає в тому, що він знаходить або непарну дірку, або непарне антихоле в будь-якому не досконалому графіку в поліноміальний час. Автори пишуть на сторінці 2 своєї роботи, що проблема пошуку непарних дірок у графіках, що їх містять, залишається відкритою, оскільки кроки 1 та 3 їх алгоритму знаходять отвори, а крок 2 може знайти протидію. Однак у випадку графіків Пейлі, якщо ви знайдете антихору, просто помножте всі вершини в ній на нерозрахунок, щоб перетворити її на непарне отвір.

Альтернативно, за аналогією з графіком Радо, для кожного k повинен бути N такий, щоб графіки Палі на N або більше вершинах мали властивість розширення: для будь-якого підмножини менше k вершин і будь-якого двобарвного підмножини, існує ще одна вершина, що примикає до кожної вершини в одному кольоровому класі, і не є сусідньою до кожної вершини іншого класу кольорів. Якщо так, то для k = 5 ви могли б скласти непарний 5-лунковий жадібний поліноміальний час за крок. Можливо, цей напрямок сподівається на алгоритм poly (log (q))? Якщо це працює, то, принаймні, буде показано, що існують короткі непарні дірки, що, здається, є необхідною умовою їх швидкого пошуку.

Насправді, мене не здивувало б, якби наступним був алгоритм poly (log (q)): якщо q менший за якусь фіксовану константу, шукайте відповідь, інакше жадібно будуйте непарний 5 отвір, послідовно шукаючи цифри 0, 1, 2, 3, ... для вершин, які можна додати як частину часткової 5-лунки. Але, можливо, доведення того, що він працює в полі (log (q)) час, потребує певної теорії глибоких чисел.

За результатами Чунга, Гремама та Вілсона, "Квазі випадкових графів", Combinatorica 1989, наступний рандомізований алгоритм вирішує проблему в постійній очікуваній кількості випробувань, коли q є простим: якщо q достатньо малий, то шукайте відповідь, ще кілька разів вибирайте випадковий набір з п'яти вершин, перевірте, чи утворюють вони непарну дірку, і якщо так, поверніть її. Але вони не кажуть, чи спрацьовує це, коли q - це не головна, а основна сила, тому, можливо, вам потрібно буде бути обережнішим у такому випадку.