Рідка трансформація Уолша-Хадамара

Перетворення Уолша-Адамара (WHT) є узагальненням перетворення Фур'є, і є ортогональное перетворення на векторі дійсних або комплексних чисел розмірності . Трансформація популярна в квантових обчисленнях, але останнім часом вона була вивчена як своєрідний попередній умова для випадкових проекцій великогабаритних векторів для використання у доказуванні леми Джонсона-Лінденстраусса. Його основна особливість полягає в тому, що, хоча це квадратна d × d матриця, вона може бути застосована до вектора в часі O ( d log d ) (а не d 2 ) методом, подібним до FFT.$d = 2^m$$d\times d$$O(d \log d)$$d^2$

Припустимо, вхідний вектор є рідким : він має лише кілька ненульових записів (скажімо, ). Чи є спосіб обчислити WHT за час f ( r , d ) таким, що f ( d , d ) = O ( d log d ) і f ( r , d ) = o ( d log d ) для r = o ( г ) ?$r \ll d$$f(r,d)$$f(d,d) = O(d \log d)$$f(r,d) = o(d \log d)$$r = o(d)$

Примітка: ці вимоги є лише одним із способів формалізації думки про те, що мені б хотілося щось, що працює швидше, ніж для малих r .$d \log d$$r$

Індексуйте рядки WHT цілим числом x, для . Отже x має біти log d. Аналогічно індексуйте стовпці. (Х, Y) положення ( - 1 ) ⟨ х , у ⟩ де показник є скалярним твором лог довжини д. Припустимо, r - потужність 2, округлюючи при необхідності. Розбийте матрицю dxr на блоки rxr, дозволяючи першим бітам журналу r змінюватись і фіксуючи інші біти журналу (d / r) у кожному з d / r способів. Цей блок rxr є меншою матрицею WHT розміром r, за винятком випадків, коли деякі стовпці відсутні, повторюються або заперечуються. У будь-якому випадку, попередньо обробити вектор легко, потім зробіть rxr WHT в часі r log r, а потім повторіть d / r рази протягом загального часу d log r.$0 \le x \lt d$$(-1)^{\langle x,y \rangle}$

Приклад:

d = 4.

WHT H є

++++
+-+-
++--
+--+

Довільний набір стовпців дорівнює 00 та 10 (крайній лівий і два більше від цього):

++
++
+-
+-

Рядові блоки є

++
++

і

--
--

$(a,b)^T$$(a+b,0)^T$

++
+-

$(a,b)^T$$(-a-b,0)^T$

++
+-