Твердість вершинних сепараторів

11

Для даного графіка задача сепаратора задає питання про те, чи існує вершина чи ребровий набір малої кардинальності (чи ваги), чиї вилучення розділяють на два неперервні графіки приблизно однакових розмірів. Це називається Проблема розділення вершин, коли видалений набір є набором вершин, і проблема Розділення країв, коли це набір ребер. Обидві проблеми є NP-повною для загальних невагомих графіків. Яка найвідоміша твердість наближення вершинного роздільника? Чи виключається ПТАС? Які найвідоміші результати твердості у напрямках? $G$ $G$

Виправлення : Наступні посилання та відповіді не допомогли мені, оскільки я неправильно не поставив запитання. Моє запитання пов'язане з наступною теоремою Лейтона-Рао:

Теорема : Існує поліноміальний алгоритм часу, який, даючи графік і множину , знаходить $G(V,E)$ $W \subseteq V$ вершинного роздільникавідврозміру, де- мінімальний розмір a $\frac{2}{3}$ $S \subseteq V$ $W$ $G$ $O(w.{\log}n)$ $w$ -vertex сепараторв. $\frac{1}{2}$ $W$ $G$

Враховуючи графік та множину , я хочу знайти роздільник вершин (де $G(V,E)$ $W \subseteq V$ $\delta$ - константа) розміру, де- мінімальний розмір a $\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$ $w$ $w$ -vertex сепараторв. Яка найвідоміша твердість цієї проблеми? Наведена вище теорема даєнаближеннядля даної задачі. $\frac{1}{2}$ $W$ $G$ $O({\log}n)$

Зауважте, що я дозволяю після вилучення сепаратора постійно збільшувати коефіцієнт розміру отриманих компонентів, але хочу мінімізувати розмір самого сепаратора. Посилання, згадані в коментарях, вказують на мінімальний b-вершинний роздільник , в якому ми наполягаємо на тому, щоб розмір отриманих компонентів максимум . $|V|/2$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Шива Кінталі
джерело

1

Я зрозумів, що мої попередні коментарі були надмірно жорсткими. Я їх зняв. Я залишаю лише посилання в цих коментарях: вершинна версія та крайова версія в Компендії проблем оптимізації NP.

— Цуйосі Іто,

Мене теж цікавить це питання, чи ви знайшли щось з того часу?

— Ярослав Булатов

@Yaroslav: Ні. На жаль, я не зміг знайти жодних результатів для цієї конкретної проблеми.

— Шива Кінталі

9

У налаштуваннях краю проблема, на яку ви посилаєтесь, - це проблема розбиття, а розмір такого мінімального краю називається шириною бісекції. Існує багато досліджень цієї проблеми, і найвідомішим наближенням проблеми є Рекка . $O(\log n)$

Хороший огляд відомої роботи над цією проблемою (яка пов'язана з найрідкіснішими скороченнями, поширенням показників і навіть унікальною гіпотезією) - у цій останній статті про узагальнення ширини розбиття за допомогою Крайтгамера, Наор та Шварца.

— Суреш Венкат
джерело

5

$O(\sqrt{\log n})$ $O(\log n)$ Лейтона і Рао; вони зробили це для крайньої справи. Аграваль-Чарікар-Макаричев-Макаричев використав результат, щоб отримати аналогічну межу для спрямованого найрідкісного розрізу (якщо когось цікавлять вершинні двосторонні розрізи). У той же час Фейге-Хаджіаї-Лі отримав аналогічну зв’язку через ARV для роздільників вершин (а також зазначив, що ширина ширини може бути наближена в межах одного коефіцієнта). Слід зазначити, що існує ще одне поняття про найрідкісніший зріз у спрямованих графах, для яких Чужой-Ханна показав результати твердості у неоднорідному випадку, але я не впевнений у рівномірному випадку. Я думаю, що результати постійної твердості відомі для (рівномірного) найрідкішого розрізу під UGC, але я не впевнений.

— Чандра Чекурі
джерело