Сильніші уявлення про уніфікацію?

16

Один розрив, який я завжди усвідомлював, що я насправді не розумію, - це між нерівномірною та рівномірною обчислювальною складністю, коли складність ланцюга являє собою неоднорідну версію, а машини Тьюрінга - це речі рівномірні. Я припускаю, що "рівномірний" спосіб є обмеженням класу алгоритмів, наприклад, не допускаючи абсолютно іншої схеми для проблеми з n змінними порівняно з проблемою n + 1 змінних.

Мої запитання: 1) Це опис рівномірності лише з точки зору схем, і 2) Чи можна придумати ще більш сильну форму рівномірності і, таким чином, дати ще більш обмежене уявлення про ефективні (або стримані) алгоритми в П є?

Пізнє уточнення: мій намір у питанні 2 стосується обмеженого класу алгоритмів, який "практично" має таку ж силу, як і клас поліноміальних алгоритмів.

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Гіл Калай
джерело

Чи можете ви детальніше зупинитися на значенні "практично має ту саму силу"?

— MS Dousti

Я маю на увазі, що всі алгоритми, з якими ми стикаємось, практично перебувають у цьому (гіпотетичному) обмеженому класі. Тому я не маю на увазі класи, які, як відомо (або передбачається), опускають певний алгоритм типу полінома типу AC_0 або NC ^ i - це не те, про що я посилаюся.

— Гіл Калай

2

Для питання 2 клас функцій, які можна обчислити за однаковими схемами LOGSPACE, розмірами полінома, становить P. загалом зменшують потужність алгоритмів поліноміального часу.

— Пітер Шор

8

Я думаю, що відповідь на ваше перше запитання є негативною: схема має фіксовану кількість входів, і, таким чином, IMO, ми можемо говорити лише про "сім'ї" схем, а не про одну єдину схему.

Стосовно вашого другого питання, ви можете зазначити, що існують "рівномірні сімейства схем", опис яких генерується машиною Тюрінга. Тобто, нехай - рівномірне сімейство ланцюгів, а - машина Тьюрінга. Тоді для кожного , , де позначає опис . $\{C_n\}$ $M$ $n$ $[C_n] = M(1^n)$ $[C_n]$ $C_n$

Є кілька класів складності нижче P, визначених однорідними сімействами схем. Наприклад:

- клас задач рішення, який можна вирішити за допомогоюрівномірнихбулевих ланцюгів з поліноміальним числом воріт та глибиною. $\mathbf{NC}^i$ $O(\log^i n)$

— М. С. Дусті
джерело

7

Додавши до відповіді Садека вище, коли дивимося на класи схеми, що містяться в P, можна також розглянути більш і більш обмежувальні поняття рівномірності.

Найпростішим і найвідомішим поняттям є P-рівномірність, яка є вимогою, що існує (детермінована) машина Тюрінга M, яка виробляє ланцюг у часі poly (n) (про це також говорить Суреш). Більш обмежені версії рівномірності намагаються додатково обмежити потужність М. Наприклад, є також уніфікованість Logspace, де M тепер потрібно працювати в просторі O (log (n)). $C_n$

Найбільш обмежувальне поняття, про яке я знаю, - це однорідність DLOGTIME, яка використовується для малих класів схем. Тут машина (з випадковим доступом) M має лише час O (log n), а отже, не може записати опис всієї схеми. Поставлена умова полягає в тому, що задані i і n, M можуть записати i-й біт опису ланцюга за час O (log n).

Докладніше див. У наступному документі: Девід А. Мікс Баррінгтон, Ніл Імерман, Говард Штраубінг: Про єдиність у NC¹. J. Comput. Сист. Наук. 41 (3): 274-306 (1990).

— Шрікант
джерело

1

Посилання на папір: dx.doi.org/10.1016/0022-0000(90)90022-D

— Суреш Венкат

Якщо M збирається записати i-й біт опису схеми в O (log n), це не означає, що схема має розмір O (n), то це еквівалентно дозволу машині генерувати вся схема в O (n log n)?

— М. Алаган

1

Це не здається рівнозначним. Ви показали, що вищезазначене (Barrington et al.) Поняття рівномірності є принаймні настільки ж сильним, як і пропоноване вами поняття рівномірності. Зворотне це не зрозуміло. Зокрема, мені незрозуміло, чи справедливо наступне: з урахуванням сімейства схем розміром

які можуть бути сгенеровані TM за час

, придумайте TM, що, враховуючи

і

, генерує

й біти

за час

. Насправді я не думаю, що це правда.

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

i

$i$

n

$n$

i

$i$

C_{n}

$C_n$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Шрікант

Я погоджуюся, приклад зустрічного може бути TM, який, даючи

і

, генерує

й біт в

, за винятком останнього біта, для якого він бере

. Дякую за підказку :)

i

$i$

n

$n$

i

$i$

O (1)

$O(1)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— М. Алаган

Справа не в тому, що X-рівномірні сімейства схем дають однакові набори сімей для різних X, а в тому, що функції, які можна обчислити X-однорідними сімействами схем, однакові для різних X.

— Пітер Шор

6

$n$ $C_n$

— Суреш Венкат
джерело

Генератор LOGSPACE для схеми також буде чудово працювати, щоб захопити П.

— Пітер Шор

5

Це там опис рівномірності просто з точки зору схем?

$1$ $f(|x|)$ $f$

$FO$ $DLogTime$ $AC^0$ $FO$

Мені здається, що головне тут полягає в тому, що нам потрібна якась модель рівномірного обчислення для визначення рівномірності схем, якщо опис схем дається засобами, які не є рівномірними, схеми можуть бути неоднорідними.

— Каве
джерело

1

O (1)

$O(1)$

A l t T i m e (O (1), O (\lg n))

$AltTime(O(1),O(\lg n))$

4

1) Чи є опис рівномірності лише щодо схем?

[Це відредагована версія моєї відповіді на те саме запитання, яке ви задали в блозі Діка Ліптона. Caveat: Я не експерт.]

Так (я думаю), щонайменше, двох різних видів:

а) схеми можна породжувати машиною Тюрінга в поліноміальний час у розмірі входу задачі (як згадується в деяких інших відповідях). (Я думаю, це стандартне визначення поняття.)

Це охоплює будь-яке сімейство схем, яке ми могли б хотіти назвати рівномірним, але, як визначення поняття P-time, воно просто зводить визначення сімейства схем до визначення на машинах Тьюрінга, що може бути не тим, що ви хочете.

б) Якщо є одновимірний стільниковий автомат, який еволюціонує вхід задачі до рішення проблеми (для проблеми вирішення рішення було б одним бітом у визначеній комірці відносно комірок, що містять вхід, який є стабільним станом КА), у поліноміальний час у розмірі вхідного сигналу, то це відповідає ланцюгу, який періодично в 2D простий спосіб (одна повторна одиниця на осередок на одиницю часу), і стан якого має значення лише у квадратично великій області відносно до часу рішення.

Це дуже особливий вид сімейства однорідних схем, але достатній для вирішення всіх проблем в P, оскільки машину Тьюрінга можна легко закодувати як 1D CA. (Це також задовольняє визначенню однорідності DLOGTIME, згаданому в попередній відповіді.)

(Це схоже на кодування машин Тьюрінга, як ланцюги, згадані у відповідях Гоуерса в блозі Ліптона - адже одна з них, ймовірно, ідентична.)

Один із способів кодування машини Тьюрінга як 1D CA: у кожній комірці ми представляємо стан стрічки в одній точці, стан, який мав би голова машини Тьюрінга, якби він був зараз тут (значення якого не має значення, якщо його немає тут) , і один біт, який говорить про те, чи голова зараз тут. Зрозуміло, що кожен такий стан в момент часу t залежить лише від його найближчих сусідніх станів в момент t-1, і це все, що нам потрібно для цього в якості СА.