Складність факторингу в числових полях

Що відомо про обчислювальну складність множинних чисел у загальних полях чисел? Більш конкретно:

1. Через цілі числа ми представляємо цілі числа за допомогою їх бінарних розширень. Якими є аналогічні подання цілих чисел у загальних полях чисел?
2. Чи відомо, що первинність над числовими полями знаходиться в P або BPP?
3. Які найвідоміші алгоритми для факторингу за числовими полями? (Зробіть $\exp \sqrt n$ і (мабуть)$\exp n^{1/3}$ алгоритмів простягаються від?) Тут, факторинг відноситься до виявлення деякого уявлення числа (представленібіт) у вигляді добутку простих чисел.$\mathbb{Z}$$n$
4. У чому полягає складність пошуку всіх факторизацій цілого числа в числовому полі? З підрахунку, скільки в ньому є різних факторів?
5. Понад відомо, що вирішити, чи задане число має коефіцієнт в інтервалі є NP-важким. Чи може бути виходячи з кільця цілих чисел у числових полях, якщо знайти основний коефіцієнт, норма якого в певному проміжку вже NP-важка? [ a , b $\mathbb{Z}$$[a,b]$
6. Чи є факторинг чисельних полів у BQP?

Зауваження, мотивації та оновлення.

Звичайно, тут важливим є факт, що факторизація не є унікальною для числових полів. Питання (особливо частина 5) мотивоване цією публікацією в блозі через GLL (див. Це зауваження ), а також цим попереднім запитанням TCSexchange. Я презентував це також у своєму блозі, де Ліор Сільверман представив ґрунтовну відповідь .

Наступна відповідь спочатку була розміщена як коментар у блозі Гіла

(1) Нехай - числове поле, де будемо вважати, що α має монічний мінімальний многочлен f ∈ Z$K=\mathbb{Q}(\alpha)$$\alpha$ . Тоді можна представити елементи кільця цілих чисел O K як многочлени в$f\in\mathbb{Z}[x]$$\mathcal{O}_K$$\alpha$ або з точки зору інтегральної основи - два еквівалентні.

Тепер, фіксуючи як у (1), існує скорочення поліноміального часу від задачі над $K$$K$ задачі в . Для того, щоб переконатися в тому , що обчислення (наприклад , пересічні ідеал з Z або факторизации многочлена по модулю р ) може бути зроблено за поліноміальний час побачити книгу Коена , згадані в попередній відповіді.$\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}$$p$

Як попередня обчислення для кожного раціонального простого ділить дискримінант α (тобто дискримінант$p$$\alpha$ ), знайдіть усі праймери O K, що лежать вище p .$f$$\mathcal{O}_K$$p$

(2) Для тесту на первинність заданий ідеал нехай p ∈ Z такий, що a ∩ Z = p Z (це можна обчислити в поліноміальний час, а кількість біт p є поліномом на вході). Перевірте в поліном час, чи p є простим. Якщо ні, то a не є простим. Якщо так, то знайдіть праймери O K, що лежать вище p, або з попереднього обчислення, або шляхом факторингу f mod p . У будь-якому випадку, якщо a є простим, він повинен бути одним з цих праймерів.$\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$p\in\mathbb{Z}$$\mathfrak{a}\cap\mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$$p$$p$$\mathfrak{a}$$\mathcal{O}_K$$p$$f$$p$$\mathfrak{a}$

(3a), (6a) Для розбиття факторів , задані ідеалом a ◃ O K, знаходять свою норму y = N K Q ( a ) = [ O K : a ] . Знову це можна знайти в поліномічний час і, отже, не надто багато. Коефіцієнт y в Z (класично або використовуючи алгоритм Шор, залежно від потрібного скорочення). Це дає перелік раціональних простих чисел, що ділить y , і, отже, як у 2, ми можемо знайти список простих простих чисел $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$$y = N^K_\mathbb{Q}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]$$y$$\mathbb{Z}$$y$ ділить y . так$\mathcal{O}_K$$y$ це дає список простих чисел, що ділять a . Нарешті, легко визначити той показник, на який прем'єр поділяє даний ідеал.$\mathfrak{a} | y\mathcal{O}_K$$\mathfrak{a}$

(3b), (6b) Але Гіл хоче розподілити фактори на невідтворювані, а не на праймери. Виявляється, що , з огляду на прості множники числа можна ефективно побудувати одну розкладання й на Непріводімие елементи O K . Для цього нехай h K - номер класу, і зауважте, що можна ефективно обчислити ідеальний клас даного ідеалу. Тепер знайти невідворотний дільник$x\mathcal{O}_K$$x$$\mathcal{O}_K$$h_K$ виділити h K простих ідеалів (можливо, з повторенням) з факторизації$x$$h_K$$x$. За принципом «голуби-нори» деякий підмножина множиться на ідентичність у групі класів; знайти мінімальний такий підмножина Потім його продукт є головним ідеалом, породженим невідводимим елементом. Розділіть на цей елемент, вилучіть із факторизації відповідні ідеали та повторіть. Якщо факторизація має менше, ніж h K елементів, то просто візьміть мінімальну підмножину всіх факторів.$x$$h_K$

(4) Я думаю, що можна перерахувати факторизацію на непридатні, але це трохи додаткової комбінаторики - будь ласка, дайте мені час на це. З іншого боку, визначення їх усіх не є цікавим у контексті алгоритмів субекспоненціальної факторизації, оскільки загалом експоненціально багато таких факторізацій.

(5) Я поняття не маю.

Як згадував Даніель, деякі відомості ви можете знайти в книзі «Курс обчислювальної теорії алгебраїчних чисел» ( посилання ).

Зокрема, існує кілька способів подання елементів чисельних полів. Нехай числове поле з ф градусів- п унітарною непріводімим многочленом Z [ ξ ] . Нехай θ - будь-який корінь φ . Так зване стандартне подання елемента α ∈ K є кортежем ( a 0 , … , a n - 1 , d $K=Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$$\varphi$$n$$\mathbb Z[\xi]$$\theta$$\varphi$$\alpha\in K$$(a_0,\dotsc,a_{n-1},d)$де , d > 0 і gcd ( a 0 , … , a n - 1 , d ) = 1 , так що α = $a_i\in\mathbb Z$$d>0$$\gcd(a_0,\dotsc, a_{n-1},d)=1$