Виграшна стратегія гри про видалення "крайової або ізольованої вершини"

Чи відома / вивчена ця досконала інформаційна гра, що грається на графіках?

Враховуючи графік $G= (V,E)$ , два гравці по черзі вибирають край або ізольований вузол. Якщо гравець вибирає край $e = (u,v)$ два вузли $u$ та $v$ видаляються разом із падаючими ребрами. Якщо гравець вибирає ізольований вузол, вузол видаляється. Перший гравець, який не зміг рухатися, програє гру.

У чому складність пошуку переможця?

Будь-які посилання на подібні ігри?

Я публікую оновлення як самовідповідь лише для того, щоб воно було відмінне від питання ( яке все ще залишається відкритим ).

Як показано в коментарях (завдяки Tsuyoshi Ito), проблема шляхів вирішена в поліномій-часі:

$Win(P_n) = 1$$(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

Починаючи з 0, (обчислена) послідовність nim значень періодично:

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

Я не працював над суворим математичним доказом, але ідея така:

припустимо, що ми хочемо обчислити елемент , тоді перший хід (вибір краю) може розділити шлях по різними способами (n-2,0), (n-3, 1), (п-4,2), ...). Нове значення nim дорівнює:$Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$$\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

Перші 34 елементи набору виробляються першою неповторюваною послідовністю (0,1,1,0, ...) (nim), підсумовані з елементами повторюваної послідовності у зворотному порядку, починаючи з елемента .$(34-2-x) \bmod 34$

Наприклад: для :$x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

Для x = 0..33 отримана мекс послідовність дорівнює послідовності, що повторюється:

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

Решта елементів набору калькулюються лише на послідовності, що повторюється: (для пари повторюються, так вони не змінюють результат мексики). Отримана мекс послідовність для x = 0..33 дорівнює:$rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$$j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

Яка дорівнює послідовності, що повторюється, за винятком і ; але значення нижче, ніж відповідні мексики для неповторюваної послідовності, так що:$x=16$$x=33$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$ =$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

а для ,$(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$$Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$