Найгірша кількість запитань, необхідних для вивчення монотонного присудка щодо групи

Розглянемо $(X, \leq)$ кінцевий набір для $n$ предметів, а $P$ - невідомий монотонний предикат над $X$ (тобто для будь-якого $x$ , $y \in X$ , якщо $P(x)$ і $x \leq y$ тоді $P(y)$ ). Я можу оцінити $P$ , надавши один вузол $x \in X$ і з’ясувавши, чи $P(x)$ утримує чи ні. Моя мета - точно визначити набір вузлів $x \in X$ такіщо$P(x)$ має місце, використовуючиякості декількох оцінок$P$ , якможливо. (Я можу вибрати свої запити залежно від відповіді на всі попередні запити. Мені не потрібно планувати всі запити заздалегідь.)

Стратегія $S$ over $(X, \leq)$ - це функція, яка вказує мені, як функцію запитів, за якими я до цього часу запускалася, та їх відповіді, який вузол для запиту і який забезпечує, що для будь-якого предиката $P$ , дотримуючись стратегію, Я досягну стану, в якому я знаю значення $P$ на всіх вузлах. Час роботи $r(S, P)$ з $S$ на предикат $P$ є число запитів необхідно знати значення $P$ на всі вузли. Найгірший час роботи $S$ - . Оптимальна стратегія S ′ така, що w r ( S ′ ) = min S w r ( S ) .$wr(S) = \max_P r(S, P)$$S'$$wr(S') = \min_S wr(S)$

Моє запитання таке: заданий як введення позет , як я можу визначити найгірший час виконання оптимальних стратегій?$(X, \leq)$

[Зрозуміло, що для порожнього набору буде потрібно запитів (нам потрібно запитати про кожен окремий вузол), і що для загального порядку навколо ⌈ log 2 n ⌉ запитів знадобиться (двійковий пошук для пошуку кордону ). Більш загальним результатом є наступна інформаційно-теоретична нижня межа: кількість можливих варіантів вибору предиката Р - це число N X протисульфатів ( X , ≤ ) (оскільки існує одноосібне відображення між монотонними предикатами та антихаїни інтерпретуються як максимальні елементи $n$$\lceil \log_2 n \rceil$$P$$N_X$$(X, \leq)$$P$), тож, оскільки кожен запит дає нам один біт інформації, нам знадобиться принаймні запитів, включаючи два попередні випадки. Це обмежено, чи це якісь пози, структура яких така, що для навчання може знадобитися асимптотично більше запитів, ніж кількість античаїв?]$\lceil \log_2 N_X \rceil$

Це не повна відповідь, але це занадто довго, щоб бути коментарем.

Думаю, я знайшов приклад, для якого пов'язаний не є жорстким.$\lceil \log_2 N_X \rceil$

Розглянемо наступний набір. Наземна множина , а a i менша, ніж b j для всіх i , j ∈ { 1 , 2 } . Інші пари незрівнянні. (Діаграма Хассе є 4 - цикл).$X=\{a_1, a_2, b_1, b_2\}$$a_i$$b_j$$i,j\in\{1,2\}$$4$

Дозвольте мені визначити монотонні властивості з розладами набору. Ця група має сім змін: , { b 1 } , { b 2 } , { b 1 , b 2 } , { a 1 , b 1 , b 2 } , { a 2 , b 1 , b 2 } , { a 1 , a 2 , b 1$\emptyset$$\{b_1\}$$\{b_2\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_1,b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$ , і в цій групі є сім антихаїнів, оскільки античаїни перебувають у листуванні один на один із розладами. Отже, ⌈ log 2 N X ⌉ = ⌈ log 2 7 ⌉ = 3 для цієї групи.$\{a_1,a_2,b_1,b_2\}$$\lceil \log_2 N_X \rceil=\lceil \log_2 7 \rceil = 3$

Тепер, за допомогою супротивного аргументу, я покажу, що будь-яка стратегія потребує щонайменше чотирьох запитів (тому потрібно запитувати всі елементи). Давайте зафіксуємо довільну стратегію.

Якщо стратегія перших запитів , то Противнику відповіді « P ( 1 ) не виконується.» Тоді нам залишається п’ять можливостей: ∅ , { b 1 } , { b 2 } , { b 1 , b 2 } , { a 2 , b 1 , b 2 } . Таким чином, щоб визначити, що є випадком, нам потрібно принаймні ⌈ log 2 5 ⌉ = $a_1$$P(a_1)$$\emptyset$$\{b_1\}$$\{b_2\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$$\lceil \log_2 5\rceil = 3$більше запитів. Загалом нам потрібно чотири запити. Ж аргумент застосовується , якщо перший запит 2 .$a_2$

Якщо стратегія спочатку запитує , тоді противник відповідає " P ( b 1 ) має місце". Тоді нам залишається п’ять можливостей: { b 1 } , { b 1 , b 2 } , { a 1 , b 1 , b 2 } , $b_1$$P(b_1)$$\{b_1\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_1,b_1,b_2\}$ , { a 1 , a 2 , $\{a_2,b_1,b_2\}$ . Тому нам потрібно як мінімум ще три запити, як і раніше. Загалом нам потрібно чотири запити. Цей же аргумент застосовується, коли перший запит є b 2 .$\{a_1,a_2,b_1,b_2\}$$b_2$

Якщо ми візьмемо паралельних копій цього набору, то в ньому є 7 к античаїнів, і, таким чином, пропонована межа пов'язана з ⌈ log 2 7 k ⌉ = 3 k . Але оскільки кожна з копій потребує чотирьох запитів, нам потрібно щонайменше 4 k запитів.$k$$7^k$$\lceil \log_2 7^k \rceil = 3k$$4k$

Напевно, є більша група з більшим розривом. Але цей аргумент може лише покращити коефіцієнт.

Тут проблема виглядає як ситуація, коли жоден запит не розділяє простір пошуку рівномірно. У такому випадку противник може змусити більшу половину залишитися.

У своїй роботі Кожна група має центральний елемент , Лініал і Сакс показують (теорема 1), що кількість запитів, необхідних для вирішення ідеальної проблеми ідентифікації у групі становить не більше K 0 log 2 i ( X ) , де K 0 = 1 / ( 2 - журнал 2 ( 1 + журнал 2 5 ) $X$$K_0 \log_2 i(X)$$K_0 = 1/(2 - \log_2(1 + \log_2 5))$ і є число ідеалів X . Те, що вони називають «ідеалом», насправді є нижчим набором$i(X)$$X$ і очевидна відповідність між монотонними предикатами та нижньою сукупністю точок, у яких вони не втримуються, окрім того, що їх "проблема ідентифікації" полягає в ідентифікації шляхом запитування вузлів так само, як у моїх налаштуваннях, тому я думаю, що вони є вирішення проблеми, яка мене цікавить, і що .$i(X) = N_X$

Отже, відповідно до їх результату, інформаційно-теоретична нижня межа напружена до відносно невеликої мультиплікативної константи. Таким чином, це в основному вирішує питання про кількість необхідних питань, як функцію і до мультиплікативної константи: вона знаходиться між log 2 N X і$N_X$$\log_2 N_X$ .$K_0 \log_2 N_X$

Лініал і Сакс цитують особисте спілкування Ширера, щоб сказати, що відомі замовлення, для яких ми можемо довести нижню межу для деякої K 1, яка трохи менше K 0 (це в дусі Відповідь Йосіо Окамото, який спробував цей підхід для меншого значення K 1 ).$K_1 \log_2 N_X$$K_1$$K_0$$K_1$

Це не відповідає повністю на моє запитання щодо обчислення кількості запитань, необхідних для , однак з моменту обчислення$X$ з X є # P-завершеним$N_X$$X$, у мене є відчуття, що надії мало. (Зауваження щодо цього питання вітаються.) Але результат Linial і Saks є просвітницьким.

Для булевого n-куба (або, що еквівалентно, для масиву ( 2 S , ⊆ ) усіх підмножин множини n-елементів) відповідь дають теореми Коробкова та Гензеля (з 1963 та 1966 рр. відповідно). Теорема Гензеля [1] стверджує, що невідому монотонну булеву функцію (тобто невідомий монотонний предикат у цій групі) можна дізнатись за допомогою детермінованого алгоритму, що складає не більше ϕ ( n ) = ($(\{0, 1\}^n, \leq)$$(2^S, \subseteq)$ запити (тобто задаватиϕ(n)запитання в гіршому випадку). Цей алгоритм відповідає нижній межі теореми Коробкова [2], де сказано, щоϕ(n)-1запитів недостатньо. (Отже, алгоритм Гензеля є оптимальним у гіршому випадку.) Алгоритм в обох висловлюваннях розуміється як детерміноване дерево рішень.$\phi(n) = \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} + \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor + 1}$$\phi(n)$$\phi(n) - 1$

Логарифм кількості антихаїнів у асимптотично дорівнює ($(\{0, 1\}^n, \le)$ , тому міжlogNXта оптимальною продуктивністю алгоритмуϕ(n)∼2 ( n існує постійний факторний розрив$\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \sim 2^n / \sqrt{\pi n / 2}$$\log N_X$ для цієї групи.$\phi(n) \sim 2 \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$

На жаль, мені не вдалося знайти належне лікування алгоритму Гензеля англійською мовою, доступного в Інтернеті. На його основі лема розбиває n-куб на ланцюги зі спеціальними властивостями. Деякий опис можна знайти в [3]. Для нижньої межі я не знаю жодної посилання на опис англійською мовою.$\phi(n)$

Оскільки я знайомий з цими результатами, я можу розмістити опис на arXiv, якщо лікування в роботі Ковалерчука недостатньо.

Якщо я не дуже помиляюся, були спроби узагальнити підхід Гензеля, принаймні, до групи , де ( E k , ≤ ) - ланцюг 0 < 1 < … < k - 1 , хоча я не можу одразу дати жодної посилання. Для булевого випадку люди також досліджували поняття складності, відмінні від найгіршого для цієї проблеми.$(E_k^n, \le)$$(E_k, \le)$$0 < 1 < \ldots < k - 1$

[1] Г. Гензель, Sur le nombre des fonctions booléennes monotones de n змінних. CR Акад. Наук. Париж, 262 (20), 1088-1090 (1966)

[2] В. К. Коробков. Оцінка кількості монотонних функцій алгебри логіки та складності алгоритму пошуку розв’язувального набору для довільної монотонної функції алгебри логіки. Радянська математика. Doklady 4, 753-756 (1963) (переклад з російської)

[3] Б. Ковалерчук, Е. Тріантафіллу, А. С. Дешпанде, Е. Вітяєв. Інтерактивне вивчення монотонних булевих функцій. Інформаційні науки 94 (1), 87-118 (1996) ( посилання )

[ ПРИМІТКА: Наступний аргумент, здається, не працює, але я залишаю його тут, щоб інші не зробили тієї самої помилки / на випадок, якщо хтось може це виправити. Проблема полягає в тому, що експоненціальна нижня межа навчання / ідентифікації монотонної функції, як показано нижче, не обов'язково суперечить алгоритму поступового поліноміального завдання. І саме остання еквівалентна перевірці взаємної подвійності двох монотонних функцій у полі часу.]

Я вважаю, ваша думка про $\log N_X$помилково взагалі. Якщо це дійсно так$\log N_X$потрібні запити, що передбачає досить сильну нижню межу вивчення монотонних функцій за допомогою запитів членства . Зокрема, нехай поет$X$ бути булевим кубом із звичайним замовленням (якщо вам подобається, $X$ - це силовий набір $\{1,...,n\}$ with $\subseteq$ as its partial order). The number $M$ of maximal antichains in $X$ satisfies $\log M = (1 + o(1))\binom{n-1}{\lfloor n/2 \rfloor}$ [1]. If your idea on $\log N_X$ is correct, then there is some monotone predicate on $X$ that requires essentially $\binom{n-1}{n/2} \approx 2^n$ queries. In particular, this implies a lower bound of essentially $2^n$ for the complexity of any algorithm solving this problem.

However, if I've understood correctly [which I now know I hadn't], your problem is equivalent to checking the mutual duality of two monotone functions, which can be done in quasi-polynomial time (see the intro of this paper by Bioch and Ibaraki, which cites Fredman and Khachiyan), contradicting anything close to a $2^n$ lower bound.

[1] Liviu Ilinca and Jeff Kahn. Counting maximal antichains and independent sets. arXiv:1202.4427