Теорема Шефера та CSPs без обмеженої ширини

Теорема про дихотомію Шефера показує, що кожна задача CSP над або вирішується в поліноміальний час, або NP-повна. Це стосується лише проблем CSP обмеженої ширини, виключаючи, наприклад, SAT та Horn-SAT. Загальні проблеми CSP з необмеженою шириною можуть бути дуже складними (навіть незрозумілими), тому давайте обмежимось проблемами, які є "природними" і є NP.$\{0,1\}$

Враховуючи проблему CSP з необмеженою шириною, для кожного ми можемо подивитися на обмеження задачі на ширини до . Тепер застосовується теорема Шефера, і обмежена задача знаходиться в P або NP-повної. Якщо для деякого , то -обмежень завдання є NP-повною, то і необмежена проблема. Ситуація менш ясна , коли для всіх , то -обмежень проблема полягає в P.$k$$k$$k$$k$$k$$k$

Теорема про дихотомію Шефера спирається на чотири (або близько того) різних алгоритми, які вирішують усі легкі випадки. Припустимо, що для даної задачі CSP проблема, обмежена , завжди вирішується алгоритмом А. Можливо, алгоритм А може бути використаний і для вирішення необмеженої задачі. Або може бути, що алгоритм A не є поліноміальним часом у необмеженому випадку, і тоді ми не знаємо про твердість проблеми.$k$

Чи розглядалася така проблема? Чи є приклади, в яких ми приїжджаємо до місця «невігласу»?

Я стверджую, що для "природної булевої CSP", якщо k- обмежена версія знаходиться в P для кожного k , то необмежена версія також є в P. Я нижче визначу "природну булеву CSP".

Теорема Шефера стверджує, що булева CSP на скінченному множині відношень S знаходиться в P, якщо виконується хоча б одна з наступних умов, і вона NP-повна, якщо жодна з них не виконується:

1. Кожне відношення в S (крім постійної 0) задовольняється шляхом присвоєння 1 усім його змінним.
2. Кожне відношення в S (крім постійної 0) задовольняється присвоєнням 0 всім його змінним.
3. Кожне відношення в S еквівалентно формулі 2-CNF.
4. Кожне відношення в S еквівалентно формулі Хорн-застереження.
5. Кожне відношення в S еквівалентно формулі подвійного Хорна-клаузу. ("Формула" подвійний ріг-ріг "означає формулу CNF, де кожен пункт містить щонайменше один позитивний буквальний текст.)
6. Кожне відношення в S еквівалентно сполученню афінних пропозицій.

Тепер припустимо, що P ≠ NP, і розглянемо випадок, коли S нескінченно. Якщо k- обмежена версія є в P для кожного k , то за теоремою Шефера, кожне кінцеве підмножина S задовольняє принаймні одній із шести вищезазначених умов, і це означає, що вся сукупність S задовольняє хоча б одній із шести умов. Чи означає це, що ця ДСП без обмеження артерії також є в P? Ще ні.

Коли S нескінченний, ми повинні вказати, як подано кожне застереження у вхідній формулі. Ми припускаємо , що існує деякий сюр'ектівное відображення з {0,1} ^* на S , який визначає кодування відносин в S . Булева CSP задається, надаючи і S, і цю функцію кодування.

Зауважте, що у кожному з вищезазначених випадків 3, 4, 5 та 6 існує природний спосіб представити відносини, що задовольняють умові: формула 2-CNF у випадку 3, формула клаузу Хорн у випадку 4 та інше. Навіть якщо відношення еквівалентно (скажімо) формулою 2-CNF, немає апріорної гарантії, що її кодування дає легкий доступ до еквівалентної їй формули 2-CNF.

Тепер ми говоримо, що булева CSP є природною, коли її функція кодування задовольняє наступному:

• З огляду на кодування відношення та призначення всіх його змінних, чи відповідає відношенню чи ні, можна обчислити за багаточлен. (Примітка. Це гарантує, що відповідна ДСП завжди знаходиться в НП.)
• Враховуючи кодування відношення, що задовольняє умовам 3, 4, 5 або 6, його природне подання, як зазначено вище, можна обчислити в поліноміальний час.

Тоді легко зрозуміти, що якщо S задовольняє одній із шести вищезазначених умов, а кодування для S задовольняє цій умові "природності", тоді ми можемо застосувати відповідний алгоритм. Твердження, яке я висловив на початку, можна довести, розглядаючи як випадок P = NP, так і випадок P ≠ NP.