Графіки, в яких кожен мінімальний роздільник є незалежним набором

Передумови: Нехай - дві вершини непрямого графа G = ( V , E ) . Вершина безліч S ⊆ V є U , V -separator , якщо у і v належать до різних компонентів зв'язності G - S . Якщо немає належного підмножини u , v -separator S є u , v -separator, тоді S є мінімальним u , $u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$-сепаратор. Множина вершин - це (мінімальний) роздільник, якщо існують вершини u , v такі, що S - (мінімальний) u , v- сепаратор.$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

Добре відома теорема Г. Дірака стверджує, що графік не має індукованих циклів довжиною щонайменше чотирьох (званих трикутним або хордальним графіком) тоді і лише тоді, коли кожен його мінімальний роздільник є клікою. Також добре відомо, що трикутні графіки можна розпізнати в многочлен.

Мої запитання: Що таке графіки, у яких кожен мінімальний роздільник є незалежним набором? Чи вивчаються ці графіки? І яка складність розпізнавання цих графіків? Приклади таких графіків включають дерева та цикли.

Ваші графіки були охарактеризовані цим документом http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf .

Редагувати: У статті, наведеній вище, доведено, що графіки, у яких кожен мінімальний роздільник є незалежним набором, є саме тими, що не містять циклу з точно одним акордом.

Графіки, що не містять циклу з точно одним акордом, були глибоко вивчені Тротіньйоном та Вусковичем . Теорема структури для графіків без циклу з унікальним акордом та його наслідками , J. Графічна теорія 63 (2010) 31-67 DOI . У результаті цієї роботи ці графіки можна розпізнати в многочлен. (Однак цей документ не вказував на з'єднання з незалежними мінімальними сепараторами!)

Редагувати (17 вересня 2013 р.): Зовсім недавно (див. Тут ) Террі Маккі описує всі графіки, у яких кожен мінімальний роздільник вершин - це кліка або незалежний набір. Виявляється, це "граничні суми" хордальних графіків і графіків, у яких кожен мінімальний роздільник вершин є незалежним набором.

Здається, що найдавніша характеристика графіків, в яких кожен мінімальний роздільник є незалежним набором, з'явилася в Т. А. Маккі, "Незалежний розділовий графік", Utilitas Mathematica 73 (2007) 217--224. Це саме графіки, в яких жоден цикл не має унікального акорда (або, що еквівалентно, у якому в кожному циклі кожен акорд має акордин перетину).

На графіках без циклу є два нові документи, що містять рівно один акорд. Обидва в основному стосуються фарбування цих графіків: http://arxiv.org/abs/1309.2749 та http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

$O(m^2n)$$O(mn)$