Арифметичні схеми с

Розглянемо схему, яка приймає в якості цифр числа $[0,1]$, і має ворота, що складаються з функцій $\max(x, y)$, $\min(x, y)$, $1 - x$, і $\frac{x+y}{2}$. Вихід схеми також є числом в$[0,1]$.

Хтось знає, чи вивчена ця модель чи тісно пов'язана з нею модель?

Зокрема, я намагаюся вирішити задачу щодо задоволеності для цієї схеми, а саме обчислити максимальне значення, яке може бути досягнуто цим ланцюгом (воно дійсно досягає максимуму, оскільки воно являє собою безперервну функцію в компактній області).

Зауваження: моє вивчення цієї моделі здійснюється за допомогою зваженої часової логіки, тому будь-які моделі, що стосуються останньої, також можуть стати в нагоді.

Проблема задоволеності цих схем (тобто, заданої схеми $C$ і $u\in[0,1]$, вирішіть, чи є вхід $x$ такий як $C(x)\ge u$) знаходиться в НП, і тому NP-завершений коментарем Ніла Янга та відповіддю Пітера Шор.

Ми можемо побудувати недетерміновану зведення задачі до лінійного програмування наступним чином. Дозволяє$\{a_i:i<m\}$ бути всі вузли $C$ це мінімальні або максимальні ворота (тут $m\le n$, де $n$ - розмір схеми), і нехай $b_i$ і $c_i$ бути вхідними вузлами воріт $a_i$. Для кожного$i<m$, виберіть одне з двох додаткових обмежень $b_i\le c_i$ або $c_i\le b_i$ (там є $2^m$можливі варіанти усього). Коли такий вибір буде фіксований, ми можемо спростити схему, замінивши кожен$a_i$ з $b_i$ або $c_i$ у відповідних випадках, і отримана схема може бути описана системою $n$ лінійні рівняння, змінні яких є вихідними вхідними змінними схеми, та додаткові змінні, що відповідають вузлам схеми.

Ми також включаємо $m$ нерівності, що свідчать про задоволення додаткових обмежень, нерівності, що обмежують вихідні вхідні змінні $[0,1]$, і нерівність, що говорить про те, що вузол виводу має значення $\ge u$. Тоді це лінійна програма розміру$O(n)$ залежно від вибору зайвих обмежень, і схема набуває значення $\ge u$Якщо існує вибір обмежень, що пов'язана лінійна програма має рішення. Оскільки лінійне програмування знаходиться в P, це показує, що проблема полягає в NP.

Також зауважте, що оптимальне значення лінійної програми досягається у вершині політопа. Це означає, що знаменник оптимального рішення може бути виражений як визначник квадратної матриці розмірності$O(n)$ записи яких є цілими числами постійного розміру, а їх є лише $O(1)$ ненульові записи в кожному рядку, і як такі вони обмежені $2^{O(n)}$.

Скорочення подібного роду часто корисні, щоб дати верхні межі щодо складності задоволеності пропозиційних нечітких логік (таких як logicukasiewicz логіка) та пов'язаних з ними систем. (Насправді, оригінальна проблема - це другорядний варіант задоволеності у Лукасевича, який би відповідав схемам з$\min(1,x+y)$ замість $(x+y)/2$.) Огляд пов'язаних результатів можна знайти в главі X Посібника з математичної нечіткої логіки, Vol. II.

Ця проблема є важкою для NP.

Ви можете отримати 3-SAT з воротами min ( x , y ), max ( x, y ) та 1− x .

Ми хочемо - звести задачу 3-SAT до ланцюга, для якого ви можете отримати 1, якщо всі змінні задовольняються, і ви можете досягти лише чогось суворо менше 1.

Ми можемо змусити всі змінні бути 0 або 1, взявши мінімум багато виразів, і змусимо ці вирази включати max ( x , 1 – x ).

Тепер для кожного пункту в задачі 3-SAT x ∨ y ∨ z ми ставимо вираз max ( x , y , z ) як мінімум.

Я не знаю, яке оптимальне значення для невиконаної проблеми 3-SAT, але це буде суворо менше 1.

Не зовсім те, про що ви просили, а контекст, в якому з’являються подібні схеми.

Якщо зняти ворота $1-x$(про що навіть у заголовку не йдеться!), тоді ви отримаєте монотонну арифметичну схему. Нижні межі класичної монотонної схеми Розборова були розширені до монотонних арифметичних схем (з тими ж результатами) Павлом Пудлаком, нижніми межами для роздільної здатності та різанням площин .