Хороша організація сидіння для послідовності прийому їжі та столів розміром k для групи людей

Враховуючи набір людей, я хотів би посидіти ними за послідовністю прийому їжі за столами розміром . (Звичайно, столів достатньо, щоб сидіти всі на кожен прийом їжі.) Я хотів би влаштувати це так, щоб ніхто не ділив стіл з тією ж людиною двічі. Типовими значеннями є і і 6 - 10 прийомів їжі.k | S | | S | = 45 к = $S$$k$$|S|$$|S|=45$$k=5$

Якщо говорити більш абстрактно, я хотів би знайти послідовність розділів таким чином, щоб кожен розділ складався з парних роз'єднаних підмножин кардинальності та доданої глобальної властивості, що будь-який перетин між двома такими підмножинами містить не більше одного елемента. Я підозрюю, що це можна сформулювати як теоретичну чи комбінаторну задачу графа.$S$$k$

Буду вдячний за кращу постановку проблеми та вказівки на відповідну літературу, оскільки вона є поза моєю сферою.

Передумови: це може бути використане для влаштування сидінь у Schloss Dagstuhl, куди протягом тижня приїжджають багато комп'ютерних вчених, щоб обговорити свої дослідження. В даний час сидіння проводиться випадковим чином і не дивно, що деякі люди опиняються сидіти з тими ж людьми двічі (або частіше) протягом тижня. Також не дивно, що ми отримуємо деякі скарги на це та неясні пропозиції, як це покращити. Я б хотів це краще зрозуміти. Більш сильна постановка проблеми передбачає оптимізацію того, хто сидить поруч, але я вважаю, що це не стосується таблиць розміром 5.

Поза межами програми я думаю, що цікаве питання полягає у максимальній кількості їжі, яку можна подавати для заданих та , тобто скільки таких розділів існує.$S$$k$

Ось варіант оригінальної відповіді (нижче), який дає бажане налаштування: таблиці розміром 5, 45 осіб та 10 прийомів їжі, за винятком того, що один прийом їжі має кілька таблиць розміром 4.

Нехай - поле розміром 9. Виберіть 4 вертикальні, вироджені лінії для кожного і оголосити своїх людей "порожніми". Нам залишилося 81 - 9x4 = 45 людей.{ ( b , x ) | x ∈ F } b = 0 , 1 , 2 , $F$$\{(b,x) | x \in F\}$$b = 0,1,2,3$

9 прийомів їжі даються нахилами . Перехрестя з 4 порожніми виродженими лініями зменшує розмір таблиці до 9-4 = 5.$a = 0,1,\ldots,8$

Додаткову страву дають залишилися вироджені лінії для кожного . Тут розмір таблиці дорівнює 9. Однак (у будь-якому рішенні) ми можемо розбити таблицю розміру 9 на таблицю розміром 5 та одну розміру 4.b = 4 , 5 , 6 , 7 , $\{(b,x) | x \in F\}$$b = 4,5,6,7,8$

Якщо є ще кілька людей, можна скористатися полем розміру 11.

Спершу давайте обробляємо людини і їжу.$k^2$$k$

Виберіть кінцеве поле від розміру і ідентифікувати людей з . Кожному прийому їжі відповідає нахил, до таблиці лінія, паралельна цьому схилу.k F × $F$$k$$F \times F$

Зокрема, їжа має таблиці для кожного .$a$$k$b ∈ $\{(x,ax+b) | x \in F\}$$b \in F$

Властивість перетину, яку ви хочете, полягає в тому, що лінії з чіткими нахилами перетинаються рівно в одній точці.

Щоб обробити людей, розділіть їх на дві групи по кожна і застосуйте конструкцію вище до кожної групи. Щоб обробити , позначте (у першій групі) фіксовану лінію, наприклад як "порожню". У вас може бути кілька столів з особами.k 2 2 k 2 - k = 45 { ( x , x ) | x ∈ F } k - $2k^2$$k^2$$2k^2 - k = 45$$\{(x,x)|x\in F\}$$k-1$

Для більшої кількості їжі можна, наприклад, вибрати іншу розділ на дві групи на початку 6-ї їжі. (Скажіть, ви переплутаєте оригінальний розділ, щоб переконатися, що дві групи "змішуються".) Хоча, звичайно, це може призвести до деяких перехресть.

Ось (вільна?) Верхня межа щодо кількості їжі, яку ви можете подавати.

Нехай і припустимо, що ділиться на . Крім того, припустимо, що у вас є точно столів, і ви хочете, щоб кожен стіл був заповнений під час кожного прийому їжі.n k n /$|S| = n$$n$$k$$n/k$

Для кожного прийому їжі побудуйте графік із вузлом для кожної людини на та ребро, коли двоє людей діляться таблицею. Цей графік - це набір кліків розміром . Таким чином, кількість ребер у графіку дорівнює .n / k k Θ ( n k $S$$n/k$$k$$\Theta(nk)$

Оскільки ви не хочете, щоб будь-який край виникав у двох різних прийомах їжі, а оскільки загальна кількість ребер у наборі вершин розміром дорівнює , це показує, що ви можете обслуговувати лише харчування.Θ ( n 2 ) O ( п / к $n$$\Theta(n^2)$$O(n/k)$

Власне, тут не важко знайти константи, і коли ви займаєтеся математикою, ви отримуєте верхню межу точно , яка для ваших типових значень становить 11.$\frac{n-1}{k-1}$

Якщо ви хочете, щоб двоє людей сиділи за одним столом рівно один раз, тоді це називається вирішуваною 2-ї конструкцією і багато вивчено. Звичайно, дозволяючи пропустити кілька прийомів їжі, ви зможете вирішити вашу проблему, коли двоє людей можуть зустрітися не більше одного разу. (Але, мабуть, можуть існувати й інші рішення.)

Я не впевнений, чи потрібен вам детермінований алгоритм, але я вирішив подібну проблему раніше, використовуючи метод Маркова ланцюга Монте-Карло .

Ви можете побачити робочий приклад такого підходу на Github - ця програма намагається розмістити групу людей за столами фіксованого розміру, враховуючи набір обмежень для сидіння, які можуть бути або позитивними, або негативними ("повинен" або "не повинен") ) і абсолютним, або відносним ("кращим").

Примітка: ця програма не вирішує абсолютно ту саму проблему, яку ви пропонували, але вона дійсно демонструє метод Монте-Карло ланцюга Маркова, і це досить близько, що ви можете легко налаштувати її, як потрібно для вашої проблеми.

Програма вирішує проблему на один обід, але у вашому випадку легким способом вирішити проблему було б запустити алгоритм один раз на кожен обід, щоразу надаючи попередні супутники кожного закусочного як нечіткі або абсолютні негативні вимоги. (Перевага нечітких вимог полягає в тому, що ви гарантуєте, що алгоритм зупиниться на всіх входах, навіть якщо ідеального розташування не вдасться знайти).

У цьому процесі ми б спершу спробували розмістити кожну закусочну відповідно до абсолютних вимог - можливо, ви захочете пропустити цю частину процесу, оскільки вона працює лише тоді, коли абсолютні вимоги відносно невеликі; інакше у вас виявиться неймовірно величезна проблема !

На наступному кроці ми створюємо серію таблиць і випадковим чином призначаємо учасників до таблиць для початкової конфігурації, і оцінка обчислюється для відображення кількості нечітких вимог, які були задоволені. Пари закусочних перемикаються випадковим чином, і оцінка цих таблиць перераховується для цих таблиць, щоб визначити, чи нове налаштування краще.

Ця частина процесу в ідеалі повинна повторюватися з декількома початковими конфігураціями і легко може бути обчислена паралельно.

Я думаю, що будь-яке дійсне місце для сидіння еквівалентне d-регулярному гіперграфові на | S | вершини, де d - кількість обідів, з рангом не більше k та максимальним кодом. 1. Тривіальним рішенням є те, щоб усі завжди сиділи самі, але я думаю, що мета - мінімізувати кількість столів?