Чи є забарвлення вершини - в певному сенсі - крайовим забарвленням?

Ми знаємо , що крайові розмальовки графа є вершинними розмальовками спеціального графа, а саме на лінію граф від . $G$ $L(G)$ $G$

Чи існує графічний оператор такий, що кольорові вершини графіка є забарвленням краю графіка ? Мене цікавить такий графік-оператор, який може бути побудований у поліноміальний час, тобто граф можна отримати з у поліноміальний час. $\Phi$ $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$

Зауваження : Аналогічне запитання можна задати для стабільних наборів та відповідностей. Збіг у - це стабільний набір у . Чи є графічний оператор такий, що стабільні множини в збігаються в ? Оскільки STABLE SET є -комплектним і MATCHING належить , такий оператор графіку (якщо він існує) не може бути побудований у поліноміальний час, якщо припустити $G$ $L(G)$ $\Psi$ $G$ $\Psi(G)$ $\mathsf{ NP}$ $\mathsf{P}$ $\Psi$ . $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

EDIT: Натхненний відповіддю @ usul та коментарями @ Okamoto та @ King, я знайшов слабшу форму для своєї проблеми: Вершинні забарвлення графіка це крайові кольори гіперграфа визначені наступним чином. Безліч вершин одне і те ж безліч вершин . Для кожної вершини з , замкнута околиця . Тоді - лінійний графік гіперграфа $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$ $v$ $G$ є ребром гіперграфу $N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}$ $\Phi(G)$ $G$ тому кольори вершин у є забарвленням краю . $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$

Знову я вдячний за всі відповіді та коментарі, в яких видно, що оператор, якого я шукаю , або без його припущення не може існувати. Було б добре, якби я міг прийняти всі відповіді! $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

graph-theory graph-algorithms

— user13136
джерело

Дякую всім за добрі коментарі (і терпіння!) Та корисні відповіді. Мені потрібен час, щоб прочитати, подумати і, можливо, повернутися свіжими очима.

— user13136

Я зіткнувся з такою досить цікавою проблемою, яку поставили Нішизекі та Чжоу в 1998 році, яка так чи інакше пов'язана з вашим запитанням та вашим другим коментарем до @TsuyoshiIto: Чи можна проблему фарбування вершин "просто" звести до проблеми фарбування краю? (...) Оскільки обидві проблеми є NP-завершеними, їх можна звести до інших правдоподібно через 3-SAT, завдяки теорії NP-повноти. Таким чином, відкрита проблема запитує, ... (див. Тут )

— vb le

@vble: дякую! Я визнаю, що хотів "занадто багато". Такий оператор вирішить проблему Нішісекі та Чжоу.

— user13136

Відповіді:

За аналогією з лінійним графіком , я думаю, ви запитуєте таке:

Чи існує для кожного непрямого графа , чи існує непрямий графік такий, що кожна вершина відповідає ребру та ребра, що відповідають і мають принаймні одну кінцеву точку, якщо і лише тоді, коли $G = (V,E)$ $G' = (V',E')$ $v \in V$ $(v_1,v_2) \in E'$ $u \in V$ $v \in V$ ? $(u,v) \in E$

Видно, що відповідь " ні" . Розглянемо чотириверхове дерево з коренем має трьох дітей . У ми повинні мати чотири ребра: або $G$ $v$ $x,y,z$ $G'$ $(v_1,v_2),(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)$ . Далі повинно бути так, що або $v_1$ $v_2$ є кінцевою точкою кожного з решти трьох ребер ( тобто , , і т.д.). Але це означає, що принаймні два з інших трьох ребер повинні мати спільну кінцеву точку, що порушує наші вимоги, оскільки жодне два з не суміжні в початковому графіку. $\left| \{v_1,v_2\} \cap \{x_1,x_2\} \right| \geq 1$ $x,y,z$

Я думаю, що той самий графік дасть вам і контрприклад для відповідного питання.

— усул
джерело

Гарна думка! Насправді у мене були ті ж думки. Але, можливо, є інший спосіб визначення

? Або як ми можемо формально довести , що такий оператор

не існує?

G^{'}

$G'$

Φ

$\Phi$

— користувач13136

@user13136, hmm, maybe there is some creative way around it, but you would need to rephrase your question (I think my counterexample is a formal proof for the question as phrased in the quoted box). Intuitively, I think the problem is that when going the line-graph direction, we take an edge (that can only be connected to two vertices) and turn it into a vertex (that can be connected to any number of edges) -- easy. The reverse is opposite and harder.

— usul

Просто додавши до відповіді usul, коротка відповідь - ні, оскільки відповідність має структурні властивості, не обов'язково присутні у стабільних множинах. Наприклад, кожен графік ліній також є квазілінійним і без кігтя; це дійсно обмежує глибину фарбування краю в порівнянні з вершиною забарвлення.

— Ендрю Д. Кінг

Питання містить деяку неоднозначність у тому, що ви маєте на увазі під «вершинним забарвленням графіка G are edge colorings of a graph H,” but it is NP-hard to construct a graph whose edge chromatic number is equal to the (vertex) chromatic number of a given graph. Formally, the following relation problem is NP-hard.

Представляючи хроматичний номер в якості краю хроматичного числа
Instance : A графа G .
Рішення : Графік H такий, що крайове хроматичне число χ '( H ) H дорівнює хроматичному числу χ ( G ) від G .

Це відбувається тому , що теорема Візінга дає (тривіальний) ефективний алгоритм, який наближає крайове хроматичне число в межах додаткової помилки 1, тоді як хроматичне число важко навіть наблизити в різних сенсах. Наприклад, Khanna, Linial і Safra [KLS00] показали, що наступна проблема є NP-повною (а пізніше Гурусвамі та Ханна [GK04] дали набагато простіший доказ):

3-розмальовка по порівнянні з НЕ-4-розфарбовуваним
екземпляр : Граф G .
Так-обіцянка : G 3-кольоровий.
Без обіцянки : G не є 4-кольоровим.

Цей результат достатній для підтвердження твердості NP, про яку я стверджував на початку. Доказ залишається як вправа, але ось натяк:

Вправа . Доведіть, що вищезазначена проблема "Представлення хроматичного числа як крайове хроматичне число" є NP-твердим під функціональним зменшенням полінома-часу, зменшуючи до нього "3-кольоровий проти не-4-кольоровий". Тобто побудуйте дві функції многочленного часу f (яка відображає графік у графік) та g (яка відображає графік на біт) таким чином, що

Якщо G - триколірний графік, а H - такий графік, що χ ( f ( G )) = χ '( H ), то g ( H ) = 1.

Якщо G - небарвний графік, а H - такий графік, що χ ( f ( G )) = χ '( H ), то g ( H ) = 0.

Список літератури

[GK04] Венкатесан Гурусвамі та Саньєєв Ханна. За твердістю 4-х забарвлень 3-х кольоровий графік. Журнал SIAM з дискретної математики , 18 (1): 30–40, 2004. DOI: 10.1137 / S0895480100376794 .

[KLS00] Sanjeev Khanna, Nathan Linial, and Shmuel Safra. On the hardness of approximating the chromatic number. Combinatorica, 20(3):393–415, March 2000. DOI: 10.1007/s004930070013.

— Tsuyoshi Ito
джерело

Thank you for reply! I am a little bit imprecise by formulating “vertex colorings of a graph

G

$G$ are edge colorings of a graph

H

$H$ ”. What I mean is an operator

Φ

$\Phi$ like the line graph operator

L

$L$ , but from vertex colourings to edge colourings. This is somehow more than

χ (G) = χ^{'} (H)

$\chi(G) = \chi'(H)$ .

— user13136

N P

$\mathsf{NP}$

H

$H$

G

$G$

χ (G) \leq k

$\chi(G) \le k$ iff

χ^{'} (H) \leq k^{'}

$\chi'(H) \le k'$ .But such a construction need not fulfill the property for an operator

Φ

$\Phi$ I am looking for. It only reduces vertex colourings to edge colourings.

— user13136

@user13136: If a weaker requirement is impossible to satisfy, the stronger requirement is obviously also impossible. This is logic. You should understand that your planar graph example is not a counterexample to this. Deciding the 3-colorability of a given planar graph is not a weaker requirement than deciding the 4-colorability of a given planar graph; they are just different requirements. On the other hand, I already showed that what you want is impossible unless P=NP, period. But if you have trouble understanding this, I do not think there is anything I can do to help you understand.

— Tsuyoshi Ito

If I understand the question correctly, such a map

Φ

$\Phi$ doesn't exist. We don't need to refer to NP-completeness. Just consider

G = K_{1, 3}

$G=K_{1,3}$ and suppose such

Φ (G)

$\Phi(G)$ exists. Since

G

$G$ is 2-colorable,

Φ (G)

$\Phi(G)$ should be 2-edge-colorable. This means the maximum degree of

Φ (G)

$\Phi(G)$ is at most two. Since

Φ (G)

$\Phi(G)$ has four edges, we can go through all candidates for

Φ (G)

$\Phi(G)$ (seven candidates up to isomorphism), and we will find that the family of edge colorings of

Φ (G)

$\Phi(G)$ and the family of vertex colorings of

G

$G$ are different. A contradiction.

— Yoshio Okamoto

@user13136: It occurred to me that you might have been confused because I wrote only a proof idea and I left out the actual proof. I revised the answer so that it would be clear that I left out the actual proof, and added some hints for proof. If this still does not work for you, then I will give up.

— Tsuyoshi Ito

(This is an addition to usul's answer and YoshioOkamoto's comment, rather than an answer.) It can be seen that your operation $\Phi$ exists only for those graphs $G$ for which there is a graph $G'$ with $G = L(G')$ , i.e. $G$ is a line graph (checkable in polytime). In this case, $\Phi$ is the "inverse line graph operator" $L^{-1}$ , i.e. $\Phi(G)=G'$ , and vertex colorings of $G$ are edge colorings of $\Phi(G)$ .

— In Theory
джерело