Абстрактна алгебра для вчених-теоретиків

Я маю розумну недооцінену математичну освіту, але ніколи не був на 100% комфортний з абстрактною алгеброю (математика груп, кілець, полів тощо). Я думаю, що це почасти було так, як мені потрібно було переглянути додатки, і все, що я міг знайти, був з фізики, а не з CS. Оскільки мене цікавить справді CS, чи доступні зараз матеріали (онлайн-чернетки, конспекти лекцій, відеоролики, книги), які висвітлюють абстрактну алгебру з точки зору застосувань у CS та, зокрема, алгоритмів / теорії? Я радий, що ці програми мають цілком теоретичний характер, але вони не повинні припускати будь-яких попередніх абстрактних знань з алгебри.

Я впевнений, що якби ці ресурси існували, їх оцінила б велика кількість дослідників ЦС.

Ви можете спробувати замітки з курсу Мадху Судана: Алгебра та обчислення

Одним з можливих шляхів в абстрактну алгебру може бути погляд на неї з точки зору криптографії, що стосується алгоритмів на кінцевому полі. Поля - це кільця, а поля - також дві групи, сполучені простими законами. Теорія поля використовує векторні простори на чільному положенні (теорія Галуа), тому цей кут повинен охоплювати багато абстрактних алгебри. Книга

Обчислювальний вступ до теорії чисел та алгебри В. Шоуп

тому може представляти інтерес.

Моя особиста рекомендація полягала б у тому, щоб ігнорувати додатки та вивчати базовий текст магістерської програми з абстрактної алгебри. Цього не бракує. Просто вірите, що всі ці речі корисні і що використання виявиться легше після того, як ви зрозумієте основний матеріал.

Більшість основних алгебр є конструктивними, і ви можете легко реалізувати основні поняття, щоб краще зрозуміти, наприклад алгоритми, які перевіряють, чи є таблиця множення групою, рішення рівняння в групі, програма, яка перевіряє, чи дві алгебраїчні структури є ізоморфними тощо. з цих проблем є жорсткі рішення, які легко здійснити, але повільно. Чим більше ви дізнаєтесь про алгебру, тим більше алгоритмічних ярликів ви можете зробити, щоб прискорити свої програми. Наприклад, знамениті тести Міллера-Рабіна та AKS на первинність.

Ознайомтеся з цією книгою Рудольфа Лідля та Харальда Нідеррейтера: Вступ до кінцевих полів та його застосувань (2-е видання, 1994 р.) Http://www.amazon.com/Introduction-Finite-Fields-their-Applications/dp/0521460948

Цитуючи опис книги в Amazon: "Теорія кінцевих полів - це галузь сучасної алгебри, яка вийшла на перший план в останні роки через різноманітні сфери застосування в таких сферах, як комбінаторика, теорія кодування, криптологія та математичне вивчення схем комутації. . "

Окрім криптографії, дуже приємним практичним застосуванням алгебри в інформатиці є, можливо, реалізація дробів, де чисельник та знаменник мають цілісний чи "великий цілий" тип, а довжина кодування зберігається невеликою за рахунок зменшення дробів (тобто визначає найбільшу поширеність дільник чисельника і знаменника).

Щодо типів даних "великого цілого", цікавим результатом є так звана "китайська теорема залишків", яка дозволяє проводити паралелізацію цілочисельних операцій після того, як відомо відомо про основні фактори аргументів.

Крім того, більшість речей, знайдених в алгебри, можуть бути естетично приємними (лише особиста точка зору).