Як ми можемо висловити "

1. Як ми можемо виразити " " як формулу першого порядку?$P=PSPACE$
2. Який рівень арифметичної ієрархії містить цю формулу (і який відомий на сьогодні мінімальний рівень ієрархії, що містить її)?

Для ознайомлення дивіться цю публікацію в блозі від Ліптона .

По-перше, я хочу звернутися до коментарів до питання, де було висловлено припущення, що «помилкове» вираження $P = PSPACE$тому що твердження є хибним. Хоча це може бути гарним жартом, насправді дуже шкідливо мислити таким чином. Коли ми запитуємо, як висловити певне речення в певній формальній системі, ми не говоримо про значення істини. Якби ми були, то коли хтось запитав: "Як мені записати той факт, що нескінченно багато простих?" ми могли б відповісти "3 + 3 = 6", але це однозначно не зробить. З цієї ж причини "хибна" не є коректною відповіддю на те, "як мені записати$P = PSPACE$Я думаю, що Фреге і Рассел дуже намагалися навчити нас цього уроку. Ок, зараз до відповіді.

Дозвольте мені показати, як висловитись $PSPACE \subseteq P$, інший напрямок схожий, і тоді ви можете з'єднати їх спільно, щоб отримати $PSPACE = P$. У будь-якому випадку для ваших цілей може бути достатньо висловити справедливість$PSPACE \subseteq P$, залежно від того, що ти робиш.

Використовуючи прийоми, подібні до побудови присудка Клейна$T$, ми можемо побудувати обмежену формулу квантифера $accept_{space}(k, m, n)$ (який, таким чином, проживає в $\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$) приказка "коли ми запускаємо машину, закодовану $k$ і обмежили його використання простором $|n|^m$, машина приймає вхід $n$"Тут $|n|$ - довжина $n$. Неофіційний спосіб бачити, що такі формули існують, такий: наведений$k$, $m$, і $n$ ми можемо обчислити примітивну рекурсивну залежність від того, скільки часу і скільки місця нам буде потрібно (тобто, щонайбільше $|n|^m$ простір і максимум $2^{|n|^m}$час). Потім ми просто шукаємо всі можливі сліди виконання, які знаходяться в обчислених межах - такий пошук є досить неефективним, але він є примітивним рекурсивним, і тому ми можемо виразити його як обмежену формулу.

Існує подібна формула $accept_{time}(k, m, n)$ в якому час виконання роботи пов'язане з $|n|^m$.

Тепер розглянемо формулу:

$$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$$ Це говорить про те, що для кожної машини $k$ який використовує максимум місця $|n|^m$ є машина $k'$ який використовує не більше часу $|n|^{m'}$ таким, що дві машини приймають абсолютно однакове $n$'s. Іншими словами, формула говорить$PSPACE \subseteq P$. Ця формула є$\Pi^0_3$.

Ми можемо покращити це, якщо ми готові висловити замість цього речення "$TQBF$є в політаймі ", що повинно бути достатньо добре для більшості застосувань, оскільки TQBF є PSPACE завершеним, і тому він знаходиться в політії еквівалентний$PSPACE \subseteq P$. Дозволяє$k_0$ бути (код) машиною, яка розпізнає TQBF у просторі $|n|^{m_0}$. Тоді "$TQBF \in P$"можна виразити як

$$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$$ Ця формула справедлива $\Sigma^0_2$. Якби я був теоретиком складності, я би знав, чи можна зробити ще краще (але я сумніваюся в цьому).

Андрій це вже пояснив $P=\mathit{PSPACE}$ можна записати як $\Sigma^0_2$-результат. Дозвольте зазначити, що ця класифікація є оптимальною в тому сенсі, що якщо твердження еквівалентно a$\Pi^0_2$-результат, то цей факт не відносить. Точніше, набір оракул$A$ такий як $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ визначається а $\Sigma^0_2$-формула з вільною змінною другого порядку $A$, але це не визначається жодним $\Pi^0_2$-формули. Аргумент викладено (для$P=\mathit{NP}$, але це працює точно так само $\mathit{PSPACE}$) у коментарях за адресою /mathpro/57348 . (Насправді, можна доопрацювати ідею, що це набір$\Sigma^0_2$-комплект у відповідному значенні.)

РЕДАКТУВАННЯ: Топологічний доказ, наведений у пов'язаному коментарі, короткий, але може здатися складним. Ось прямий аргументаційний аргумент.

$P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$ можна записати як $\Pi^0_2$-формула форми $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$, де $\theta$ є $\Delta^0_0$. Припустимо для суперечності, що$P^A=\mathit{PSPACE}^A$ також еквівалентний а $\Pi^0_2$-формули $\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$. Виправити оракули$B$, $C$ такий як $P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$ і $P^C=\mathit{PSPACE}^C$.

З тих пір $\phi(B)$, існує $y_0$ такий як $\theta(B,0,y_0)$. Однак,$\theta$ це обмежена формула, отже, оцінка значення істинності $\theta(B,0,y_0)$використовує лише кінцеву частину оракула. Таким чином, існує кінцева частина$b_0$ з $B$ такий як $\theta(A,0,y_0)$ для кожного оракула $A$ розширення $b_0$.

Дозволяє $C[b_0]$ denote the oracle which extends $b_0$, and agrees with $C$ where $b_0$ is undefined. Since $P^A$ and $\mathit{PSPACE}^A$ are unaffected by a finite change in the oracle, we have $\psi(C[b_0])$. By the same argument as above, there exists $z_0$ and a finite part $c_0$ of $C[b_0]$ such that $\eta(A,0,z_0)$ for every $A$ extending $c_0$. We may assume that $c_0$ extends $b_0$.

Continuing in the same fashion, we construct infinite sequences of numbers $y_0,y_1,y_2,\dots$, $z_0,z_1,z_2,\dots$, and finite partial oracles $b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$ such that

1. $\theta(A,n,y_n)$ for every oracle $A$ extending $b_n$,

2. $\eta(A,n,z_n)$ for every oracle $A$ extending $c_n$.

Now, let $A$ be an oracle which extends all $b_n$ and $c_n$. Then 1 and 2 imply that $\phi(A)$ and $\psi(A)$ simultaneously hold, which contradicts the assumption that they are complements of each other.