Створення цікавих проблем комбінаторної оптимізації

Я викладаю курс з метаевристики і мені потрібно створити цікаві екземпляри класичних комбінаторних проблем для терміна проект. Давайте зосередимось на TSP. Ми вирішуємо графіки розміром і більше. Я, звичайно, спробував створити графік із матрицею витрат зі значеннями, взятіми від випадкової , і з’ясував, що (як очікувалося) гістограма для вартості шляху (намальована вибіркою безлічі випадкових шляхів) має дуже вузький нормальний розподіл ( становить але - близько ). Це означає, на мою думку, що проблема дуже проста, оскільки більшість випадкових шляхів будуть нижче середнього, а шлях мінімальної вартості дуже близький до випадкового шляху.$200$$U(0,1)$$\mu$$~100$$\sigma$$4$

Тому я спробував наступний підхід: Після генерації -матриці зробіть довгу випадкову прогулянку навколо графіка і випадковим чином (Бернуллі з ) подвоїти або вдвічі зменшити значення краю. Це має тенденцію до зниження всіх значень, зрештою досягаючи нуля, але якщо я вживаю лише потрібну кількість кроків, я можу отримати розподіл з навколо та навколо .$U(0,1)$$p=0.5$$\mu$$2$$\sigma$$1$

Моє питання, по-перше, це навіть хороше визначення цікавої проблеми? В ідеалі я хотів би отримати екземпляр, який є дуже мультимодальним (для найпоширеніших функцій сусідства) і має дуже мало шляхів біля мінімального значення, так що більшість випадкових рішень будуть дуже далекими від оптимальних. Друге питання, з огляду на цей опис, як я можу генерувати екземпляри з такими характеристиками?

Один загальний підхід до створення більш важких випадків полягає в наступному:

• Почніть із випадкового випадкового завдання.
• Вставте "приховану заднім куточком": випадковим чином виберіть хороше рішення (яке, ймовірно, буде набагато краще, ніж будь-яке рішення, яке вже існує) та змініть екземпляр проблеми, щоб насильно вставити це рішення в проблемний екземпляр.

Наприклад, для TSP ви можете зробити щось на кшталт наступного. Створіть випадковий проблемний екземпляр, вибравши випадкову матрицю витрат . Потім налаштуйте проблемний примірник, щоб приховати в ньому набагато краще рішення: випадковим чином виберіть тур, який відвідує кожну вершину рівно один раз, і зменшіть ваги ребер у цій екскурсії (наприклад, генеруйте її випадковим чином з де ; зменшити існуючу вагу; або змінити існуючий край з деякою фіксованою ймовірністю). Ця процедура коригування гарантує, що оптимальним рішенням буде з великою часткою ймовірності той спеціальний тур, який ви обрали. Якщо вам пощастить і ви вибрали розумне вбудовування, також буде не так просто розпізнати, де ви сховали спеціальне рішення.$U(0,1)$$U(0,c)$$c<1$

Цей підхід випливає із загальних ідей в криптографії, де ми хочемо створити односторонні проблеми, які важко вирішити: де проблему важко вирішити без знання таємної трапочки, але з знанням таємної трапарки проблема стає дуже простою. Було багато спроб вбудувати таємні трампліни у різноманітні важкі проблеми (зберігаючи твердість проблеми навіть після того, як трап додано), із неоднозначним успіхом. Але цей загальний підхід здається, що він може бути корисним для ваших цілей.

Отримані проблеми можуть бути важкими , але чи будуть вони цікавими з будь-якої практичної точки зору? Не знаю. Биє мене. Вони виглядають досить штучно для мене, але що я знаю?

Якщо ваша основна мета - вибрати проблемні екземпляри, які практично є релевантними та репрезентативними для реальних програм TSP, мою пропозицію було б зовсім іншого підходу. Натомість почніть з дослідження реальних програм TSP, а потім шукайте репрезентативні екземпляри цих проблем та конвертуйте їх у відповідний екземпляр проблеми TSP - так ви працюєте з проблемними екземплярами, похідними від реальної проблеми світу.

підхід, який часто дає вам високий контроль над природою рішень, - це перетворення з однієї НП повної проблеми в іншу. тепер ви визначаєте "цікаве" у своєму питанні статистично, але інший акуратний підхід полягає у використанні класичних задач на місцях. мій фаворит - факторинг / САТ. тривіально знайти або "гладкі" числа з великою кількістю факторів, або прості числа, які мають лише два "коефіцієнта" (один і простий). створити екземпляр SAT для вирішення факторингу, а рішення - це фактори (фактично перестановки факторів, але також які важко порахувати достроково).

при такому підході існує природне визначення "цікавих" - твердих випадків, які не можна вирішити за P час. і цей підхід гарантовано створює важкі екземпляри для факторингу негладких чисел, інакше це вирішить головне відкрите питання в теорії складності, тобто твердість факторингу .

то, можливо, перетворіть на вашу проблему, в цьому випадку TSP. щоб заповнити цю відповідь, було б непогано мати пряме перетворення SAT в TSP, думаю, вони там, але я не знайомий з ними. однак, ось декілька посилань на факторинг до SAT у цьому запитанні: зведення задачі на ціле множення до повної задачі NP

якщо вам не подобається факторинг, можливо, все-таки бажано спершу створити екземпляри в SAT з різних причин. ви можете почати з випадкових випадків SAT, налаштованих на центр у простому-важкому-легкому перехідному пункті, тощо. або ви можете працювати з важких екземплярів DIMACS , створених спільнотою. або створити інші логічні "програми" в SAT.