Сортування за допомогою чорного поля

Припустимо, що ми хочемо сортувати список з n реальних чисел. Припустимо, що нам дають чорний ящик, який може сортувати $S$$n$ миттєвих цифр миттєво. Скільки переваг ми можемо отримати, використовуючи цю чорну скриньку?$\sqrt n$

Наприклад, може ми сортуємо номери тільки з дзвінки в чорну скриньку? Найкращий алгоритм, який я знайшов, використовуєnдзвінків до чорного поля. Але я не зміг її покращити далі. Ось мій алгоритм, схожий на сортування злиття:$O(\sqrt n)$$n$

Перший розділ списку на $S$ спискиз1,˙s2,. . . ,s$\sqrt n$ з приблизно$s_1, s_2, ..., s_{\sqrt n}$ розмір. Потімдопомогою$\sqrt n$ дзвінків до чорного поля для сортування цих списків. Нарешті, об’єднайте відсортовані списки за допомогою чорного поля таким чином:$\sqrt n$

Помістіть найменші елементи списків у новий список , а потім зателефонуйте у чорну скриньку для сортування. Число в L [ 1 ] (перший і найменший елемент L ) буде найменшим номером в S . Ми можемо поставити його на перше місце у списку вихідних даних. Якщо припустити , що елемент був обраний з х J , ми замінимо L [ 1 ] з другим найменшим елементом списку критеріїв сортування сек J , і знову запустити чорний ящик на ньому , щоб обчислити другий найменший елемент з S .$L$$L[1]$$L$$S$
$s_j$$L[1]$$s_j$$S$
Ми продовжуємо, поки всі елементи не будуть відсортовані. Загальна кількість дзвінків з чорної скриньки для цієї частини буде . Тому загальна кількість викликів становитимеn.$n - \sqrt n$$n$

З іншого боку, схоже, що ми повинні мати можливість отримати нижню межу, використовуючи нижню межу порівняння чисел, необхідних для сортування, таким чином: Ми можемо реалізувати чорну скриньку за допомогою порівнянь. Якщо ми можемо вирішити задачу за допомогоюo($\sqrt n \lg \sqrt n = \frac{1}{2} \sqrt n \lg n$виклики до чорного поля та злиття у лінійному часі, ми можемо сортуватиnдійсних чисел із порівняннямo(nlgn),що неможливо.$o(\sqrt n)$$n$$o(n \lg n)$

Я думаю, ми могли б довести, що є нижньою межею для кількості викликів до чорного поля, оскільки багато порівнянь, які використовують у чорному полі, поділяться спільно, і тому вони перераховуються в нашому аргументі.$\Omega(n)$

ОНОВЛЕННЯ: Як підказують інші публікації, також досяжно.$\sqrt n \lg n$

Можна сортувати з дзвінки до чорного поля та відсутність порівнянь.$O(\sqrt n\log n)$

Спочатку розглянемо таку задачу збалансованого розподілу: задані елементів A [ 1 .. m ] (де $m$$A[1..m]$), розділіть їх на дві групи, найменша за розміром принаймні приблизноm/4, щоб усі елементи першої групи були меншими, ніж усі елементи другої групи. Це можна зробити за допомогоюO(м/$\sqrt n \le m \le n$$m/4$дзвінки в чорний ящик. (Я опишу це пізніше.) Потім використовуйте quicksort з цим алгоритмом розподілу:$O(m/\sqrt n)$

def qsort(A[1..m]):
   if m < sqrt(n): sort A with one call to the black box
   else:
     Partition A[1..m] into two groups as described above.
     Recursively qsort the first group.
     Recursively qsort the second group.

Якщо припустимо, що кожен етап розділу займає виклики до чорної скриньки, наведений вище алгоритм, заданий вхідA[1 ..n], зробитьO($O(m/\sqrt n)$$A[1..n]$викликає чорний ящик, оскільки дерево рекурсії має глибинуO(logn)і кожен рівень дерева має загальну кількістьO(n/$O(\sqrt n\log n)$$O(\log n)$дзвінки в чорний ящик.$O(n/\sqrt n) = O(\sqrt n)$

Виконайте наступний крок поділу:

def partition(A[1..m]):  (where sqrt(n) <= m <= n)
   Divide A into m/sqrt(n) groups of size sqrt(n) each.
   Sort each group with one call to the black box per group.
   Sort the medians of the groups with one call to the black box.
   (Note the number of groups is less than sqrt(n), because m <= n.)
   Let X be the median of the medians.
   Partition all m elements around X, using the black box as follows:
      For each group G, let Y be its median:
        Call the black box once on (G - {Y}) union {X}.
        (This gives enough information to order all elts w.r.t. X.)

Я думаю, що ваше питання було вирішене в роботі Бейгеля та Гілла " Сортування n об'єктів за допомогою k-сортувальника " з 1990 року, а реферат статті говорить про все:

$\frac{n \log n}{k \log k}$$\frac{4n \log n}{k \log k}$

$O(\sqrt{n}\log n)$$n$

$k$$\sqrt{n}$$2(n/k)^2$$k$$2n/k$

BlockBubbleSort(X[0..n-1], k):
   m = floor(n/k)
   for i = 1 to m
      for j = 0 to m-1
          BlackBoxSort(X[j*k .. (j+1)*k-1])
      for j = 0 to m-1
          BlackBoxSort(X[j*k + k/2 .. (j+1)*k + k/2 - 1])

$n=18$$k=4$$k$

$k/2$$k$

$O((n/k)^2)$$O((n/k)\log^2(n/k)) = O(\sqrt{n}\log^2 n)$$O((n/k)\log (n/k)) = O(\sqrt{n}\log n)$