Як проблема може бути в NP, бути NP-жорсткою і не NP-повною?

Найдовше я думав, що проблема була NP-повною, якщо вона одночасно (1) NP-жорстка і (2) є NP.

Однак у відомій роботі "Еліпсоїдний метод та його наслідки у комбінаторній оптимізації" автори стверджують, що проблема дробового хроматичного числення належить до NP та є важкою для NP, але, як відомо, не є повною NP. На третій сторінці статті автори пишуть:

... зазначимо, що проблема упаковки вершин графа в певному сенсі еквівалентна дробовій хроматичній численній задачі, і коментуємо явище, що ця остання проблема є прикладом проблеми в яка є N P- твердою але (як зараз) невідомо, що це N P -повне.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Як це можливо? Чи пропускаю я тонку деталь у визначенні NP-завершеного?

Здається, проблема полягає у тому, який тип скорочень використовується для кожної з них, і вони використовують різні: вони, ймовірно, означають " тверді скорочення Wrt Cook" та " N P -комплектні скорочення Карпа".$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Іноді люди використовують версію скорочення твердості Кука, оскільки вона застосована до більш загальних обчислювальних задач (а не лише для вирішення проблем). Незважаючи на те, що в оригінальному визначенні N P- твердості та N P -комплектності використовуються скорочення Кука (скорочення Тюрінга в поліномічному часі), рідко застосовується скорочення Кука для N P- незавершеності (якщо це прямо не зазначено). Я не пригадую жодної недавньої роботи, яка використовувала N P -комплект для позначення N P -комплектних скорочень Wrt Cook. (Як сторону відзначте першу проблему, яку слід довести N $\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$-характерний був TAUT не SAT, і повнота для SAT мається на увазі в цьому доказі.)

$\mathsf{NP}$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$