Чи є Gap-3SAT NP повним навіть для формул 3CNF, де жодна пара змінних не відображається в значно більшій кількості пропозицій, ніж середня?

У цьому питанні формула 3CNF означає формулу CNF, де кожен пункт включає в себе рівно три різних змінних. Для постійної 0 < s <1, Gap-3SAT _s є такою проблемою обіцянки:

Екземпляр Gap-3SAT _s : формула 3CNF φ.
Так-обіцянка : φ задовольняється.
Не обіцяйте : жодне призначення істини не задовольняє більше s частки пункту φ.

Одним із рівноцінних способів констатувати відому теорему PCP [AS98, ALMSS98] є те, що існує константа 0 < s <1 така, що Gap-3SAT _s є NP-повним.

Ми говоримо, що формула 3CNF є попарно обмеженою B, якщо кожна пара різних змінних з'являється у щонайбільше B застереженнях. Наприклад, формула 3CNF ( x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₄ ) ∧ (￢x ₁ ∨￢x ₃ ∨ x ₄ ) ∧ ( x ₁ ∨ x ₃ ∨￢x ₅ ) попарно 2-обмежена, але не попарно 1 -обмежене, тому що, наприклад, пара ( x ₁ , x ₄ ) відображається в більш ніж одному пункті.

Питання . Чи існують константи B ∈ℕ, a > 0 і 0 < s <1 такі, що Gap-3SAT _s є NP-повним навіть для формули 3CNF, яка є попарно B- обмеженою і складається щонайменше з ^2-х застережень, де n чисельна кількість змінних?

Парова обмеженість чітко означає, що існують лише пропозиції O ( n ² ). Разом із квадратичною нижньою межею щодо кількості застережень це приблизно говорить про те, що жодна пара чітких змінних не відображається у значно більшій кількості пропозицій, ніж середня.

Для Gap-3SAT відомо, що рідкісний випадок важкий : існує константа 0 < s <1 така, що Gap-3SAT _s є NP-повним навіть для формули 3CNF, де кожна змінна трапляється рівно п'ять разів [Fei98]. З іншого боку, щільний випадок легкий : Max-3SAT допускає PTAS для формули 3CNF з Ω ( n ³ ) різними пунктами [AKK99], і тому Gap-3SAT _s в цьому випадку знаходиться в P для кожної постійної 0 < s <1. Питання задає питання про середину цих двох випадків.

Вищезазначене запитання виникало спочатку при дослідженні квантової обчислювальної складності, точніше двоповерхових однокруглих інтерактивних систем доказів із заплутаними доказчиками ( MIP ^* (2,1) системи). Але я думаю, що питання може бути цікавим саме по собі.

Список літератури

[AKK99] Саньєєв Арора, Девід Каргер та Марек Карпінські. Схеми наближення поліноміального часу для щільного екземпляра задач, пов'язаних з NP. Журнал комп'ютерних та системних наук , 58 (1): 193–210, лют. 1999. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] Саньєєв Арора, Карстен Лунд, Радєєв Мотвані, Мадху Судан і Маріо Сегеді. Доказ перевірки та твердість проблем наближення. Журнал ОСББ, 45 (3): 501–555, травень 1998 р. Http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] Саньєєв Арора і Шмуель Сафра. Імовірнісна перевірка доказів: Нова характеристика НП. Журнал ОСББ, 45 (1): 70–122, січень 1998. http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[Fei98] Уріель Фейге. Поріг ln n для наближення кришки набору. Журнал ОСББ, 45 (4): 634–652, липень 1998 р. Http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

Не повна відповідь, але, сподіваємось, близька. Це дуже близько до коментарів Лука вище. Я вважаю, що відповідь полягає в тому, що принаймні існують константи B ∈ℕ, a > 0 і 0 < s <1 такі, що Gap-3SAT _s є NP-повним навіть для формули 3CNF, парної B- обмеженої і складається з щонайменше , положення, для будь-якої константи е .$an^{2-\epsilon}$$\epsilon$

Доказ такий. Розглянемо GAP-3sat сек примірника ф на N змінних , в якому кожна змінна з'являється в більшості 5 разів. Як ви говорите в запитанні, це завершення NP.$_s$$\phi$$N$

Тепер ми створюємо новий екземпляр таким чином:$\Phi$

1. Для кожної змінної в ϕ , Φ має n змінних y i j .$x_i$$\phi$$\Phi$$n$$y_{ij}$
2. Для кожного набору індексів , і б з в ≠ б , Φ має пару статей у я ∨ ¬ у я б ∨ ¬ у я б і у я б ∨ ¬ у я ∨ ¬ у я . Я буду називати це порівняльними статтями, оскільки вони гарантують, що y i a = y i b, якщо вони задоволені.$i$$a$$b$$a\neq b$$\Phi$$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$$y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$$y_{ia} = y_{ib}$
3. Для кожного пункту в діє на змінні x i , x j і x k , для кожного a і b , Φ містить еквівалентний пункт, де x i замінюється y i a , x j замінюється y j b і x k замінюється y k ( a + b ) (тут додавання виконується за модулем n ). Я буду називати це спадковими пунктами.$\phi$$x_i$$x_j$$x_k$$a$$b$$\Phi$$x_i$$y_{ia}$$x_j$$y_{jb}$$x_k$$y_{k(a+b)}$$n$

Загальна кількість змінних , то . Примітка Φ має 2 N n 2 пункту порівняння та $m = nN$$\Phi$$2Nn^2$успадкованих пунктів, загалом$\frac{5}{3}Nn^2$пунктів. Беручиn=Nk,маємоm=Nk+1і загальну кількість пунктівC=$\frac{11}{3}Nn^2$$n = N^k$$m = N^{k+1}$ . Візьмемоk=ϵ-1-1, томуC∝m2-ϵ.$C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$$k = \epsilon^{-1} - 1$$C \propto m^{2-\epsilon}$

Далі - парне 8-обмежене (максимум 2 із пропозицій порівняння та 6 від успадкованих пропозицій).$\Phi$

Нарешті, якщо нездійсненний, то принаймні ( 1 - ие ) N положення не задоволені. Тепер, якщо y i a ≠ y i b для будь-якого a , b, то принаймні n - 1 пропозиції є незадовільними. Зауважте, що для задоволення ( 1 - s ) N незадоволених пропозицій у наборі успадкованих пропозицій для фіксованого a , b, тоді присвоєння змінних y : a , y $\phi$$(1-s)N$$y_{ia} \neq y_{ib}$$a,b$$n-1$$(1-s)N$$a,b$$y_{:a}$ і y : ( a + b ) повинні відрізнятися принаймні 1 - $y_{:b}$$y_{:(a+b)}$позицій, залишаючи не менше1-$\frac{1-s}{5}N$порівняння незадовільних пропозицій. Це має бути справедливим для кожного виборуaіb, так що принаймні≈1-$\frac{1-s}{5}N(n-1)$$a$$b$порівняльні пропозиції повинні залишатись незадоволеними, щоб достатньо успадкованих пропозицій було виконано. Якщо ви дивитесь на іншу крайність, де всі пропозиції порівняння задовольняються, то(1-s)Nn2=(1-s)m 2 k + $\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$пропозиції не задовольняють. Отже, зазор залишається (хоча зменшений) приs′=4+$(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$ .$s' = \frac{4+s}{5}$

Константи, ймовірно, потрібно двічі перевірити.