Збільшення ємності для максимального мінімуму скорочення

Розглянемо графік, у якого всі ребра мають ємність. Можна знайти міні-розріз у многочлен.

Припустимо, мені дозволяється збільшити ємність будь-яких ребер до нескінченності (еквівалентно об'єднанню вузлів по обидві сторони краю). Який оптимальний спосіб вибору оптимального набору ребер (потужність яких буде збільшена до нескінченності) для максимального мінімуму розрізу?$k$$k$

Теорема. Проблема в пості - NP-жорстка.

Я маю на увазі під "задачею в дописі", маючи на увазі графік та ціле число , щоб вибрати ребра для підвищення ємності, щоб максимально зменшити мінімізацію в модифікованому графіку.$G=(V,E)$$k$$k$

Ідея полягає у зменшенні від Max Cut. Приблизно, заданий графік має максимальний розмір зрізу тоді і тільки тоді, коли ви можете збільшити ємність ребер, так що отриманий графік має мінімальний розмір зрізу . Ідея полягає в тому, що ребра достатньо лише, щоб змусити отриманий графік мати лише один виріз з обмеженою ємністю, і це може бути будь-який вирізаний вами вибір.$G=(V,E)$$s$$n-2$$s$$n-2$

Ця ідея не дуже спрацьовує, тому що для отримання заданого розрізу , вам потрібно підключити підграф, викликаний іАле ви можете обійти це за допомогою відповідного гаджета.$(C, V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

Доказ. З огляду на підключений графік , визначте з’єднаний зріз як зріз таким чином, що підгрупи, індуковані і , пов'язані кожен. Визначте Max Connected Cut як проблему пошуку з’єднаного розрізу (у заданому підключеному графіку), що максимізує кількість ребер, що перетинають зріз.$G=(V,E)$$(C,V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

Ми показуємо, що Max Connected Cut зводиться до проблеми в публікації. Тоді ми показуємо, що незважене Max Cut зменшується до Max Connected Cut.

Лема 1. Максимально підключений розріз скорочується в полі часу до проблеми, визначеної в публікації.

Доказ. З огляду на екземпляр Max-Connected-Cut , нехай . Для доказу леми доводимо наступне:$G=(V,E)$$k=|V|-2$

Пункт 1: Для будь-якого є зв'язаний розріз в ємністю не менше , IFF можна підняти крайову ємність у до нескінченності, щоб отриманий графік мав min скоротити ємність принаймні .$s>0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$k$$G$$s$

ТОЛЬКО ЯКЩО: Припустимо, є підключений розріз ємністю принаймні . Нехай і є підпунктами, що охоплюють відповідно і , а потім підвищують ємність ребер у і . (Зверніть увагу, що .) Тоді єдиний відрізок кінцевої ємності, що залишився на графіку, є , ємністю принаймні , тому отриманий графік має мінімальну ємність скорочення принаймні .$(C,V\setminus C)$$s$$T_1$$T_2$$C$$V\setminus C$$T_1$$T_2$$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$$(C, V\setminus C)$$s$$s$

ЯКЩО: Припустимо, можна збільшити граничну ємність у щоб отриманий графік мав мінімальну ємність скорочення принаймні . Розглянемо підграф, утворений піднятими краями. Не втрачаючи загальності, припустимо, що цей підграф є ациклічним. (В іншому випадку "зніміть" один край із циклу піднятих ребер і замість цього підніміть деякий непіднятий край, який з'єднує два з'єднані компоненти з підграфа. Це лише збільшує мінімізацію розрізу в отриманому графіку. Вибором , підграф піднятих ребер має дві з'єднані компоненти, скажімо, і , тому єдиним скороченням кінцевої ємності в отриманому графіку є$k$$G$$s$$k$$k=n-2$$C$$V\setminus C$$(C,V\setminus C)$. І цей зріз має ємність принаймні , як це було в оригінальному графіку.$s$

Це доводить твердження (і лема). (QED)

Для повноти ми покажемо, що Max Connected Cut є NP-повним за рахунок зменшення від незваженого Max Cut.

Лемма 2. Незважений Макс Розріз зменшує за багато разів до Макс .

Доказ. Для будь-якого цілого числа , визначають графік складається з двох шляхів і , кожен довжиною , з ребрами з кожної вершини в до кожної вершині в . Ми залишаємо це як вправу для читача, щоб переконатися, що максимальний розріз у ( з одного боку, з іншого) має розмір , а жоден інший розріз не має розміру більше, ніж, скажімо, .$N\ge 1$$P(N)$$A$$B$$N$$A$$B$$P(N)$$A$$B$$N^2$$N^2-N/100$

Ось скорочення. З огляду на будь-який невагомий екземпляр Max Cut , побудуйте графік наступним чином. Нехай. Нехай . Додайте до графік визначений вище (з його двома контурами і ). З кожної вершини додати краю до однієї вершини в і від іншого краю до однієї вершини в . Це визначає скорочення. Для закінчення ми доводимо, що це правильно:$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$n=|V|$$N = 100(n^2 + 2n)$$G$$P(N)$$A$$B$$v\in V$$A$$B$

Спосіб 2: Для будь-якого існує розріз в ємністю принаймні , IFF є з'єднаний зріз у розміром принаймні .$s\ge 0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$G'$$s+N^2+n$

ТОЛЬКО ЯКІ: Враховуючи будь-який зріз у ємністю не менше , розглянемо підключений зріз у . Це чіткий скорочення скорочень по крайней мере краями з до , плюс ребра від до , а також з ребер від до .$(C,V\setminus C)$$G$$s$$(A\cup C, B\cup V\setminus C)$$G'$$G'$$s$$C$$V\setminus C$$N^2$$A$$B$$n$$2n$$V$$A\cup B$

ЯКЩО: Припустимо, є зв'язаний зріз у розміром принаймні . і знаходяться на протилежних сторонах розрізу. (Інакше, оскільки другий за величиною зріз у обрізає максимум ребер у , загальна кількість зрізів ребер становить не більше ) Нехай. позначають вершини в на стороні розрізу з . Тоді в розрізі від до є ребра , а від до$G'$$s+N^2+n$$A$$B$$P(N)$$N^2-N/100$$P(N)$$N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$$C$$V$$A$$N^2$$A$$B$$n$$V$$A\cup B$ , так що повинно бути по крайней мере від до .$s$$C$$V\setminus C$

Це доводить твердження і леми 2. (QED)

За лемами 1 і 2, оскільки не зважений Макс Різ є важким для NP, проблема на посаді також NP-жорстка.