Складність одноперемінного SMT

Я шукаю складність задоволеності формули $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ або формули $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ де $\phi$ формула форми:

ϕ := ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ := t > t | t = t

$\psi := t>t~| ~t=t$

t := t + t | x_{i} | y_{i} | c

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$ Де

c

$c$ є константою в

N

$\mathbb{N}$ , і область змінних

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$ є також

N

$\mathbb{N}$ .

Насправді $y_i$ є або $0$ або $1$ . Чи спрощує це складність?

Усі відповіді з посиланнями з радістю будуть прийняті.

Дякую

cc.complexity-theory reference-request lo.logic

— плетіння
джерело

Якщо фі був Булевим, то ви перебуваєте на другому рівні ієрархії поліномів, тому що я можу вирішити проблему недетермінованою машиною Тьюрінга, використовуючи розв'язувач SAT як оракул. Хіба тут би не працювали ті ж міркування?

— Міколас

Як зазначено в запитанні, це здається навіть невирішеним, оскільки воно включає 10-ю проблему Гільберта en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

— Magnus Знайти

@MagnusFind Спасибі, ви праві. Але насправді у мене немає множення (відредаговано, вибачте).

— wece

@Mikolas другим рівнем ви маєте на увазі

Π_{2}

$\Pi_2$ або

Σ_{2}

$\Sigma_2$ ? У не дуже знайомій з поліноміальною ієрархією вибачте.

— wece

Чи є у вас інші вільні змінні, окрім кількісно визначених? Якщо так, то вам слід також уточнити. До речі, здається, що легке спостереження полягає в тому, що для третього рівня поліноміальної ієрархії це принаймні важко, навіть якщо взяти кількісно визначені змінні

0

$0$ і

1

$1$ .

— Каве

Відповіді:

На питання істини в «Арифметиці Пресбургера» з обмеженим обмеженням кількісних показників Reddy і Loveland відповіли досить точно:

CR Reddy & DW Loveland: Арифметика пресбургера з чергуванням обмеженого квантора .

Папір може бути знайдений тут (вибачте за потворне посилання). Їх основний результат констатується таким чином:

Членство в $\mathrm{PA}(m)$ (де $m$ - кількість чергувань кількісних показників) довжини $n$ можна вирішити в просторі
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ і в (детермінований) час $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ Де $d$ і $e$ є константами.

Приймаючи $m=2$ , це, здається, дає принаймні верхню межу того, що ви хочете, і я підозрюю, що це далеко не тісно, оскільки у вас майже повні атомні формули Пресбургера "в корені".

— коді
джерело

Одного чергування в арифметиці Пресбургера достатньо для отримання експоненціальних нижніх меж, точніше формул, як у питанні з $m=1$ і $n$ недостатня кількість ( Grädel 1989 ).

— Сільвайн
джерело

Я не знаю посилань на кількісно визначений фрагмент, але ваша проблема не однакова як вирішити добре вивчені фрагменти арифметики Пресбургера, оскільки у вас є одиничні коефіцієнти.

Праця Пратта, що подано нижче, вивчає випадок, коли обмеження мають форму $x + c < y$ , де $x$ і $y$ є змінними і $c$ у натуральній кількості. Він показує, що проблема вирішення питання, чи можна поєднати такі обмеження, можна ефективно використовувати алгоритм графіків.

Дві легкі теорії, поєднання яких важке. Пратт, 1977.

Цей фрагмент також називають логікою різниці і, ненадовго, його називали логікою розділення (тому що $x$ і $y$ розділені постійною). У наступному документі представлений практичний огляд вирішення фрагмента задачі, що не містить кількісних показників.

Вирішення логічних формул поділу шляхом SAT та поступового усунення негативного циклу. Чао Ван, Франьо Іванчич, Малай Ганай, Арті Гупта, 2005.

Наразі ваше запитання допускає лише коефіцієнти $0$ і $1$ . Якщо ви також дозволяєте $-1$ як коефіцієнт, отримані сполучники обмежень називаються восьмикутниками в літературі з програмного аналізу. Зв'язки та диз'юнкції обмежень складають логіку одиниці двох змінних на нерівність (UTVPI) . Впровадження наступних алгоритмів опитування в роботі для вирішення задоволеності сполучень обмежень UTVPI, вільних від кількісних показників.

Ефективний порядок прийняття рішень щодо обмежень UTVPI. Шувенду К. Лахірі та Маданлал Мусуваті, 2005.

Ми все ще в дуже обмеженому фрагменті. Розширення до сполучників $n$ -зміна лінійних нерівностей з одиничними коефіцієнтами називається октаедром . Це таке природне продовження, що я б очікував, що воно вивчається в літературі з математичного програмування та оптимізації, але я сама не знаю цієї літератури. У статті нижче наведено $\mathcal{O}(3^n)$ порядок вирішення відповідності таких обмежень. Зауважте, що ми все ще знаходимося у вільному фрагменті кількісного показника.

Абстрактний домен октаедра. Роберт Кларізо та Джорді Кортадела, 2004 рік.

У випадку чергування обмежених кількісних показників я не знаю кращих результатів, ніж результати Reddy та Loveland, але, можливо, експерт може вказати вам у правильному напрямку.

— Vijay D
джерело