Складність обчислення середньої відстані графа

Нехай буде середня відстань зв'язкового графа $\rm{ad}(G)$ $G.$

Один із способів обчислити - це підсумовуючи елементи матрицю відстані та відповідну шкалу. $\rm{ad}(G)$ $D(G),$ $G$

Якщо графік виводу є деревом, то відомо, що середню відстань можна обчислити в лінійному часі (Див. Б.Мохар, Т.Пісанський - Як обчислити індекс Вінера графа). Здається, існують швидкі алгоритми для графіків із обмеженою шириною дерева.

Тому цікавим є питання, чи допомагає це знатиІншими словами $D(G).$

Чи можна обчислити в підпункті квадратичне час? $\rm{ad}(G)$

Мені цікаво знати, чи існує теоретична нижня межа того, чому це було б неможливо.

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— Jernej
джерело

Поряд із обмеженим результатом ширини, який ви згадуєте (Кабелло та Кнауер, "Алгоритми графіків обмеженої ширини через ортогональний діапазон пошуку", Comp. Geom. 2009) відомо, як швидко обчислити це для графіків, ізометрично вбудованих у декартові вироби дерев ( що виявляється актуальним для алгоритмів хімічних графіків) - див. Єх та Гутман, "Про суму всіх відстаней у складених графах", Дискретна математика. 1994, і Чепой і Клавжар, "Індекс Вінера та індекс Сегеда бензоїнових систем у лінійному часі", JCICS 1997.

— Девід

Обчислення об'яви (G) за час для постійної навіть у графіках з ребрами та вершинами означатиме, що гіпотеза сильного експоненційного часу (SETH) хибна. (SETH було визначено Імпальяццо, Патурі та Зане'01 і випливає, що CNF-SAT на змінних не має алгоритмів часу .) $O(n^{2-\delta})$ $\delta>0$ $\tilde{O}(n)$ $n$ $n$ $O(2^{(1-\varepsilon)n})$

Щоб підтвердити це, зауважимо, що нещодавно ми довели в (Алгоритми швидкого наближення діаметра та радіуса розріджених графіків, Ліам Родітті, В. Василевська Вільямс. STOC'13.), Що якщо можна виділити графіки діаметром 2 та 3 у підквадратичному час, то SETH - хибне. Доказ підтверджується зниженням від CNF-SAT. Таке ж зменшення можна використати, щоб показати, що обчислення оголошення (G) у підквадратичний час показує, що SETH помилковий, оскільки середня відстань у графіках скорочення складе (деі- кількість вузлів і ребер у екземплярі скорочення), якщо екземпляр CNF-SAT не задовольняє, і більше, ніж якщо є задовольняюче призначення. $2-M/{N\choose 2}$ $N$ $M$

— діви
джерело