Складність вибірки (приблизно) перетворення Фур'є булевої функції

Одне, що можуть зробити квантові комп'ютери (можливо, навіть за допомогою лише квантових схем BPP + логічної глибини), це наблизити вибірку перетворення Фур'є булевої оціненої функції в P.$\pm 1$

Тут і нижче, коли я говорю про вибірку перетворення Фур'є, я маю на увазі вибір x відповідно до . (Нормалізується при необхідності і приблизно).$|\hat f(x)|^2$

Чи можемо ми описати клас складності, який можна назвати зразком P-FOURIER, приблизної вибірки булевих функцій P? Чи є проблеми, які є повноцінними для цього класу?

З огляду на клас X булевих функцій, що можна сказати про обчислювальну складність, яку ми можемо називати ПРОБЛЕМ-X апроксимації вибірки перетворення функцій Фур'є в X. (я вважаю, що якщо X є BQP, то X-SAMPLING є все ще під силу квантовим комп'ютерам.)

Назвіть приклади X, де SAMPING-X знаходиться в P? Чи є цікаві приклади, коли SAMPLING-X є важким для NP?

Існує кілька варіантів цієї проблеми, які також можуть бути цікавими. З боку Фур'є, а не про приблизну вибірку, ми можемо говорити про проблему рішення, яку можна (імовірнісно) наблизити шляхом наближення вибірки. На первинному боці ми можемо почати з класу X розподілів ймовірностей і запитати, яке співвідношення між здатністю приблизно вибірки розподілу D у X та приблизно вибіркою (нормалізованої) перетворення Фур'є.

Коротше кажучи, що відомо про це питання.

Оновлення: Мартін Шварц зазначав, що якщо всі самі коефіцієнти Фур'є сконцентровані лише на поліноміальному числі записів, то в BPP можна наблизити ці великі коефіцієнти (і, таким чином, також приблизно до вибірки). і Кушилевіц-Мансур. Чи є цікаві класи функцій, де існує ймовірнісний поліноміальний алгоритм для приблизно вибірки сторони Фур'є, де коефіцієнти Фур'є розподілені на більш багато поліноміально коефіцієнтів?

Додано пізніше: Дозвольте зазначити кілька конкретних проблем.

1) Наскільки важко приблизно вибирати перетворення Фур'є булевих функцій у P.

a) Одне питання, про яке Скотт Ааронсон згадував у коментарі нижче, - це показати, що це не в BPP. Або щось слабкіше, якщо в БПП це завдання відбувається якийсь крах. (Скотт вважає, що це так.)

b) Інше питання полягає в тому, щоб показати, що це завдання є складним щодо класу складності на основі кванту. Наприклад, щоб показати, що якщо ви можете виконати це завдання, ви можете вирішити проблеми з рішеннями в BPP, що підтримується квантовими комп'ютерами на глибині журналу, або щось подібне.

2) Які класи булевих функцій такі, що приблизно вибіркове їх перетворення Фурлера знаходиться в P. Що ми знаємо, що це той випадок, коли коефіцієнти Фур'є сконцентровані на багаточленних множинних коефіцієнтах, але це здається дуже обмеженим.

3) Чи є високий клас складності X в PH, що X-машина може приблизно вибирати перетворення Фур'є кожної функції, яку може обчислити X-машина.

4) Мене особливо зацікавила проблема відбору проб Фур'є-перетворення події перетину для проколювання на n шестикутній сітці n.

$\hat{f}(x)$$O(poly(n))$$\Omega(1/poly(n))$$\sf{BPP}$$\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$