Тестування на позитивність замість рівності

Аліса і Боб мають n-бітові струни і хочуть з’ясувати, чи рівні вони, мало спілкуючись. Стандартне рандомізоване рішення полягає в тому, щоб розглядати n-бітові струни як поліноми ступеня а потім оцінювати поліноми на кількох випадково обраних елементах із поля розміром більше . Це потребує зв'язку . $n$ $n$ $O(\log |F|)$

Припустимо, замість цього ми фіксуємо лексикографічне впорядкування по рядках і хочемо замість цього визначити, який рядок "більший", що еквівалентно пошуку крайнього лівого біта там, де рядки відрізняються.

Чи існує аналогічний рандомізований протокол для цього чи відома нижня межа? Це, мабуть, стосується тестування позитивності многочленів.

ps Хоча лексикографічний порядок здається найбільш очевидним, я добре з іншими впорядкуваннями: для того, що мене цікавить, все, що нам потрібно, - це певний порядок.

communication-complexity property-testing

— Суреш Венкат
джерело

Я подумав, що стандартним рандомізованим рішенням є вибір випадкової лінійної комбінації бітів, і просто надіслати отриманий паритет, який займає лише

зв'язку?

O (1)

$O(1)$

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow Я думаю, що це залежить від характеру випадковості - публічної чи приватної. Протокол, який ви згадуєте, використовує випадкові випадковість.

— Сашо Ніколов

Для порівняння, можливо, варто згадати, що детермінована складність

, тому тривіальний протокол є оптимальним. Це дає хороший експоненціальний розрив між детермінованими / точними та рандомізованими рішеннями, показуючи, що (принаймні, за складністю спілкування) випадковість справді може допомогти.

n + 1

$n+1$

— Андрас Саламон

гм ... так.

$\:$ Скільки потрібно комунікацій для алгоритму, який ніколи не дає помилкової відповіді, і для всіх вхідних пар дає МОЖЛИВОСТІ для цієї вхідної пари з вірогідністю максимум 1/2?

Можливо, варто згадати, що складність зв'язку

-round більша, ніж

зокрема, лінійна для

, див. Arxiv.org/abs/cs/0309033 . Це приємний папір :)

k

$k$

Ω (n^{1 / k} k^{- 2})

$\Omega(n^{1/k}k^{-2})$

k = 1

$k=1$

— Марк Бері

$O(\log n)$

Редагувати: Алгоритм належить Нісану (стор. 10): http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.57.6891&rep=rep1&type=pdf

$O(\log n)$

Для отримання (не явного) приватного протоколу випадковості можна застосувати результат Newman: http://pdf.aminer.org/000/933/113/private_vs_common_random_bits_in_communication_complexity.pdf

— Григорій Ярославцев
джерело

\log n

$\log n$

O (1)

$O(1)$

O (\log n \log \log n)

$O(\log n \log \log n)$

O (1 / \log n)

$O(1 / \log n)$

O (\log \log n)

$O(\log \log n)$

@SashoNikolov Гаразд, щось подібне можна використовувати як "шумний бінарний пошук", який допускає постійну частку помилок, щоб ми могли використовувати постійну ймовірність помилок у тестах рівності: dl.acm.org/citation.cfm? id = 167129

— Григорій Ярославцев

правда. Я мав на увазі двійковий пошук, де кожне порівняння може дати неправильний результат з невеликою постійною ймовірністю. Я думаю, цей документ дає необхідний результат, наприклад: dl.acm.org/citation.cfm?id=100230

— Ніколов

Перенесли дискусію у відповідь.

— Григорій Ярославцев