Пояснення у стилі Вікіпедії теорії геометричної складності

Чи може хтось надати стисле пояснення підходу Мулмулі щодо ГКТ, зрозумілого не експертам? Пояснення, яке було б підходящим для сторінки Вікіпедії на цю тему (яка на даний момент є заглушкою).

Мотивація: Я «читаю» книгу Скотта Ааронсона «Квантові обчислення з часів Демокрита» з моїм другом, який є дослідником теорії струн. У передмові книги Ааронсон називає GCT "теорією струнних комп'ютерних наук". Будучи теоретиком струн, мій друг схвильований цим твердженням і запитав мене, що таке ГКТ. У той момент я ганебно зрозумів, що не маю готової у Вікіпедії відповіді на його запитання.

Я не точно впевнений, який рівень підходить для статті у Вікіпедії (різні статті, здається, спрямовані на різний рівень знань) або саме те, що ви шукаєте. Отож, спробуйте, але я відкритий для відгуків.

Теорія геометричної складності пропонує вивчити обчислювальну складність обчислювальних функцій (скажімо, многочленів), використовуючи притаманні їм складні симетрії та будь-які додаткові симетрії функцій, що вивчаються.

Як і у багатьох попередніх підходів, кінцевою метою є відокремлення двох класів складності , показавши, що існує поліном який приймає функції як вхідні дані (скажімо , за їх коефіцієнтами векторів) таким, що зникає на кожній функції але не зникає на деякій функції . рерх∈ C е в и г г ч в г д ∈ C ч в р $\mathcal{C}_{easy}, \mathcal{C}_{hard}$$p$$f$$p$$f \in \mathcal{C}_{easy}$$g_{hard} \in \mathcal{C}_{hard}$

Перша ключова ідея (пор. [GCT1, GCT2]) полягає у використанні симетрії для організації не самих функцій, а для організації ( алгеброгеометричних ) властивостей цих функцій, як захоплених поліномами, такими як вище. Це дає змогу використовувати теорію представлення при спробі знайти такий . Подібні ідеї, що стосуються теорії представлення та алгебраїчної геометрії, раніше були використані в алгебраїчній геометрії, але, наскільки мені відомо, ніколи не зовсім таким чином.$p$$p$

Друга ключова ідея (пор. [GCT6]) полягає у пошуку комбінаторних (і поліноміальних часових) алгоритмів для виникаючих теоретично-теоретичних задач, а потім реверсивні ці алгоритми, щоб показати, що такий існує. Це може сприйматися в дусі використання лінійного програмування (алгоритму) для доведення певних суто комбінаторних тверджень.$p$

Дійсно, [GCT6] пропонує зменшити теоретичні проблеми представлення до задач програмування Integer , потім показавши, що отримані ІР вирішуються їх релаксаціями LP, і, нарешті, даючи комбінаторні алгоритми для отриманих LP. Гіпотези в [GCT6] самі мотивовані зворотною інженерією відомих результатів для коефіцієнтів Літтвуд-Річардсона, аналогічної, але простішої проблеми в теорії представлення. Що стосується коефіцієнтів LR, першим вийшло комбінаторне правило Літлвуда-Річардсона . Пізніше Беренштейн і Зелевінський [BZ], Кнутсон і Дао [KT] (див. [KT2] для дружнього огляду) дали IP для коефіцієнтів LR. Кнутсон і Дао також довели гіпотезуючу насичення, що означає, що ІР вирішується його релаксацією LP (пор. [GCT3, BI]).

Результати [GCT5] показують, що явна дерандомізація лема Нормалізації Нотера по суті еквівалентна сумнозвітій відкритій проблемі в теорії складності чорноборської дерандомізації тестування поліноміальних ідентичностей . Приблизно, як це вписується у більшу програму, це те, що пошук явної основи для функцій які (не) зникають на (у цьому випадку, може бути клас, для якого детермінант є повним). використовується для отримання комбінаторного правила для бажаної задачі в теорії представлення, як це було в інших параметрах алгебраїчної геометрії. Проміжним кроком тут є пошук основи для тих які (не) зникають при нормалізаціїC e a s y p C e a s $p$$\mathcal{C}_{easy}$$p$$\mathcal{C}_{easy}$ , що є побудовою приємнішого алгебраїчного різноманіття - іншими словами, дерандомізувати лемему нормування Нітера для DET.

Приклади симетрій складності та функцій

Наприклад, складність функції - для більшості природних понять складності - не змінюється, якщо перестановити змінні деякою перестановкою . Таким чином, перестановки є симетрією самої складності. Для деяких понять складності (наприклад, у складності алгебраїчного кола) всі незворотні лінійні зміни змінних є симетріями.f ( x π ( 1 ) , … , x π ( n ) ) $f(x_1, \dotsc, x_n)$$f(x_{\pi(1)}, \dotsc, x_{\pi(n)})$$\pi$

Окремі функції можуть мати додаткові симетрії. Наприклад, визначник має симетрії для всіх матриць таких, що . (З того, що я мало що взяв з цього приводу, я розумію, що це аналогічно явищу стихійного розриву симетрії у фізиці.)$\det(X)$$\det(AXB) = \det(X^{T}) = \det(X)$$A,B$$\det(AB) = 1$

Деякий останній прогрес [цей розділ, безумовно, неповний і більш технічний, але повний рахунок займе десятки сторінок .... Я просто хотів висвітлити деякий останній прогрес]

Бургіссер і Ікенмайєр [BI2] показали нижню межу на матричне множення за програмою GCT, що стосується використання представлень з нульовою проти ненульовою кратністю. Ландсберг і Оттавіані [ЛО] дали найбільш відому нижню межу, по суті, на граничному ранзі множення матриць, використовуючи теорію представлення для організації алгебраїчних властивостей, але не використовуючи множинності представлення чи комбінаторні правила.$\frac{3}{2}n^2$$2n^2$

Наступна проблема після коефіцієнтів Літтлвуда-Річардсона - коефіцієнти Кронекера . Вони виявляються як у ряді проблем, які, як підозрюють, врешті-решт дістають теоретико-теоретичні проблеми, що виникають у GCT, і більш безпосередньо, як межі множинності підходу GCT до множення матриці та постійної проти детермінантної. Пошук комбінаторного правила для коефіцієнтів Кронекера є давньою відкритою проблемою в теорії представлення; Недавно Бласяк [B] дав таке комбінаторне правило для коефіцієнтів Кронекера з однією формою гака.

Кумар [K] показав, що певні подання з'являються в координатному кільці детермінантної форми з ненульовою кратністю, припускаючи, що на латинській квадратній гіпотезі (див. Хуанг-Рота та Алон-Тарсі); ця гіпотеза також, можливо, не випадково відображається в [BI2 ]). Отже, ці уявлення не можна використовувати для відокремлення постійного від детермінантного на основі нульових та ненульових множин, хоча все-таки можливо використовувати їх для відокремлення постійних від детермінантного шляхом більш загальної нерівності між множинами.

Список літератури [B] J. Blasiak. Коефіцієнти Кронекера для однієї форми гачка. arXiv: 1209.2018, 2012.

[BI] П. Бургіссер і К. Ікенмайєр. Алгоритм максимального потоку для позитивності коефіцієнтів Літтлвуда-Річардсона. FPSAC 2009.

[BI2] П. Бургіссер і К. Ікенмайєр. Явні нижні межі через геометричну теорію складності. arXiv: 1210.8368, 2012.

[БЖ] А. Д. Беренштейн та А. В. Зелевинський. Потрійна кратність для та спектра зовнішньої алгебри суміжного подання. $\mathfrak{sl}(r+1)$Дж. Алгебраїчний комбінат. 1 (1992), вип. 1, 7–22.

[GCT1] К. Д. Мулмулей та М. Сохоні. Теорія геометричної складності I: підхід до П проти НП та супутні проблеми. SIAM J. Comput. 31 (2), 496–526, 2001.

[GCT2] К. Д. Мулмулей та М. Сохоні. Теорія геометричної складності II: До явних перешкод для вбудовування серед різновидів класів. SIAM J. Comput., 38 (3), 1175–1206, 2008.

[GCT3] KD Mulmuley, H. Narayanan, M. Sohoni. Теорія геометричної складності III: про прийняття рішення про відмінювання коефіцієнта Літлвуда-Річардсона. Дж. Алгебраїчний комбінат. 36 (2012), вип. 1, 103–110.

[GCT5] К. Д. Мулмулей. Теорія геометричної складності V: Еквівалентність між дерандомізацією чорноборців тестуванням поліноміальної ідентичності та дерандомізацією лемальної норми Нотера. FOCS 2012, також arXiv: 1209.5993.

[GCT6] К. Д. Мулмулей. Теорія VI геометричної складності: перевертання позитивності. , Технічний звіт, кафедра комп'ютерних наук, Чиказький університет, січень 2011 року.

[К] С. Кумар. Дослідження уявлень, підтримуваних орбітою закриття визначника. arXiv: 1109.5996, 2011.

[LO] Дж. М. Ландсберг та Г. Оттавіані. Нові нижні межі для граничного рангу множення матриць. arXiv: 1112.6007, 2011.

[КТ] А. Кнутсон і Т. Дао. Сота модель тензорних виробів . I. Доведення гіпотетичної гіпотези. $\text{GL}_n(\mathbb{C})$Дж. Амер. Математика. Соц. 12 (1999), вип. 4, 1055–1090.

[КТ2] А. Кнутсон та Т. Дао. Соти та суми германських матриць. Повідомлення Amer. Математика. Соц. 48 (2001), вип. 2, 175–186.

Нещодавно я дав відповідь на відповідне запитання про Mathoverflow https://mathoverflow.net/questions/277408/what-are-the-current-breakthroughs-of-geometric-complexity-theory

Оскільки цей сайт є, мабуть, кращим місцем, дозвольте мені просто повторити цю відповідь нижче. Посилання на Йосипа чи Тимофія стосуються інших публікацій з цього питання про МО.

---

Нехай - це загальна матриця і ступінь однорідного многочлена, задана визначник. Нехай що приймає Постійний матриці і множиться на улюблену лінійну форму, щоб створити ще один однорідний многочлен ступеня (можна також використовувати запис замість ). Ця модифікація називається накладкою . Потім визначте число $X=(X_{ij})_{1\le i,j\le n}$$n\times n$$F_1(X)={\rm det}(X)$$n$

$$F_2(X)=(X_{nn})^{n-m}\times {\rm perm}\left[(X_{ij})_{1\le i,j\le m}\right]$$ $m\times m$$n$$X_{11}$$X_{nn}$ $$c(m)=\min\{\ n\ |\ n\ge m\ \ {\rm and}\ \ \overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}\ \}$$ де являє собою діє на афінний простір розмірності де живе а є зариськими замиканнями орбіт. Велика гіпотеза області або Гіпотеза Валіана (складна версія ) полягає в тому, що росте швидше, ніж будь-який многочлен у .$G$$GL(n^2)$$n^2$$X$$\overline{G\cdot F_i}$${\rm P}\neq{\rm NP}$$c(m)$$m$

Тепер, якщо , то у нього є сюжективна -еквівалентна карта між частинами частин координатних кілець цих замикань орбіти. Отже, гра полягає в тому, щоб спробувати показати, що цього не відбувається для недостатньо великого відносно , довівши існування перешкоди множинності , тобто непридатного подання для якого кратність задовольняє $\overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}$$G$

$$\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d\longrightarrow \mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d$$ $d$$n$$m$$\lambda$ $${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)<{\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)$$ або на рівні ідеалів $${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)>{\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_2}]_d)\ .$$

Оптимістичний підхід полягає в тому, щоб спробувати показати, чи існують перешкоди виникнення , тобто такі, що і . Ця надія була розбита у творах Бюргіссера, Ікенмайєра та Панової, згаданих Тимофієм. Однак можливість перешкод кратності все ще залишається відкритою.$\lambda$${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)=0$${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)>0$

Я думаю, що підхід Малмулі полягає в тому, щоб спробувати довести існування таких перешкод множинності, використовуючи всі інструменти, доступні з теорії представлення для обчислення цих множин. Особисто я ніколи не був прихильником такого підходу. Вивчивши певну глибину теорії інваріантів 19 століття, мені здається більш природним підходити до проблеми розділення орбіти за допомогою явних інструментів тієї епохи. Ця стаття Горхова, схоже, також вказує на аналогічний напрямок (я підозрюю, що третя стаття, згадана Джозефом, знаходиться в тому ж дусі). У класичній мові (див. Тернбулл або Літтлвуд ) слід чітко побудувати змішаний супутник, який зникає на$F_1$але не на . Слід також робити це нескінченно часто (в ), щоб встановити властивість зростання суперполіномії. Такий супутник такий же, як специфічна еквівалентна карта від вашої улюбленої моделі для непридатного подання до поліноміальної алгебри в змінних (Грохов називає, що розділюючий модуль ). Теоретики інваріантів 19 століття мали два способи генерування таких об'єктів: теорія елімінації та діаграматична алгебра .$F_2$$m$$G$$\lambda$$n^2$$X$

Дуже немовлячий приклад, коли і є двійковими кварцичними формами під дією (див. Це питання MO ) - скажімо і Відокремлюючим супутником (тут насправді є коваріантом) є гессіан загального двійкового квартичного Він зникає (однаково в ) для але не для$F_1$$F_2$$G=SL(2)$

$$F_1(x,y)=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$$ $$F_2(x,y)=16x^4-24x^3y+12x^2y^2-2xy^3\ .$$ $F$ $$H(F)(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} \right)^2\ .$$ $x,y$$F=F_1$$F=F_2$. У цьому випадку Гессіана можна розглядати як еквівалентну карту, що утворює непридатну, задану другою симетричною силою (основного двовимірного подання) в кільце координат для афінного простору бінарних квартиків.

Отже, можливий супероптимістичний "план" для GCT включає наступну послідовність кроків.

1) Знайдіть спосіб генерації тонн супутників.

2) Визначте явних кандидатів, які скасуються на і доведіть цю властивість.$F_1$

3) Покажіть, що вони не зникають на .$F_2$

Крок 1) в принципі вирішується Першою фундаментальною теоремою для але є невідповідність: визначник є природним об'єктом в теорії інваріантів для (діє на ряди і стовпці), а не . Можна було б спробувати виправити невідповідність, висловивши основний будівельний блок для інваріантної теорії з точки зору для (див. Це питання MO для подібної проблеми скорочення від до ).$GL(n^2)$$GL(n)\times GL(n)$$GL(n^2)$$GL(n^2)$$GL(n)\times GL(n)$$SL(n(n+1)/2)$$SL(n)$

Гадати правильних кандидатів на крок 2) мені дуже важко. Заздалегідь знаючи, що деякі множини напевно допоможуть. Хоча можна було б відкласти і відкласти доказ неідентичного зникнення супутнього на Крок 3), який у будь-якому разі повинен показати більше, ніж це. Якщо у вас є такі правильні кандидати, показати, що вони зникають на може бути простим аргументом, можна назвати принцип виключення Паулі (стиснення симетризації з антисиметризацією), властивість високого хроматичного числа або просто "відсутність місця".${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)$$F_1$

Однак я вважаю, що найскладніша частина - це Крок 3). Наприклад, у моєму документі "16 051 формули для інваріанта кубічних трійки Оттавіані" з Ікенмайєром та Ройлом здогадки були здійснені за допомогою комп'ютерного пошуку, але з правильним кандидатом у руці, зникнення було досить легко пояснити (це досить досить приклад хроматичного числа через глобальні властивості графіка, а не якусь велику кліку). Аналог кроку 3) у нашій статті був зроблений комп'ютерним розрахунком грубої сили, і ми все ще не маємо поняття, чому це правда. Парадигматична проблема, пов’язана з Етапом 3) - гіпотеза Алон-Тарсі (див. Це питання МО та це$F_1$теж). На мою думку, потрібно досягти прогресу в такому питанні ( теорема чотирьох кольорів теж є такою, через скорочення через Кауфмана та Бар-Натана) перед тим, як задуматися з Валіантом.

Оскільки питання стосується проривів у ДКТ. Я думаю, що ця стаття Ландсберга та Рессайра також заслуговує певної уваги, оскільки це дозволяє припустити, що обґрунтованою здогадкою про точне значення є Зауважимо, що докази концепції явного підходу "Крок 1), 2), 3)", щодо набагато простішої проблеми, були надані Бюргіссером та Ікенмайєром у цій статті . Нарешті, для отримання додаткової інформації про GCT, я настійно рекомендую огляд "Теорія геометричної складності: вступ для геометрів" Ландсберга.$c(m)$

$$\left(\begin{array}{c}2m\\ m \end{array}\right)-1\ .$$

PS: Я мушу додати, що мій песимізм характерний для доблесної гіпотези, яка є «гіпотезою Рімана» у цій галузі. Звичайно, не варто кидати дитину водою з ванни і принижувати ДКТ, оскільки вона поки що не могла довести цю гіпотезу. У цій галузі існує багато більш доступних проблем, де досягнуто прогресу та очікується більший прогрес. Див., Зокрема, вищезгадану статтю Грохова та рецензію Ландсберга.

GCT - це дослідницька програма, яка доводить межі теорії складності та певним чином не піддає реферату / резюме у стилі вікіпедії через його важку абстракцію, але для натовпу TCS доступні хороші опитування. [2] [3] [4] (і, безумовно, Вікіпедія - найкраще місце для публікацій у Вікіпедії). вона була сформульована на початку 2000-х Малмулі і є відносно новою в теорії складності і дуже розвиненою, використовуючи та застосовуючи передову математику (алгебраїчну геометрію), яка не бере початок з теорії складності та складності.

Деякі органи влади підхід вважають перспективним, але, можливо, занадто складним, тобто не доведено і тому суперечливо, чи може він подолати загальновідомі «бар'єри». (у цьому сенсі він виявляє деякі ознаки так званої куніанської "зміни парадигми".) навіть Мулмулей припускає, що це реально може не досягти успіху (довести основні розділення класів складності) після десятиліть подальшого розвитку. ось скептична думка Fortnow, провідного органу в галузі теорії складності: [1]

Розгляньте величезну гору і хочете дійти до вершини гори. Кетан підходить і каже, що навчить вас створювати інструменти, необхідні для підйому на гору. Це займе важкий місяць навчання, і насправді ці інструменти недостатньо хороші, щоб піднятися на гору. Їх потрібно вдосконалити, і ці покращення не відбудуться у вашому житті. Але ви не хочете дізнатися, як відтепер інші піднімуться на гору?

[1] Як довести NP, відмінний від блогу P Fortnow

[2] Розуміння підходу Малмулі-Сохоні до П проти НП Регана

[3] Про P проти NP та теорії геометричної складності Малмулі

[4] Програма GCT у напрямку проблеми P проти NP Mulmuley