Відокремлення простору журналів від поліноміального часу

Зрозуміло, що будь-яка проблема, яка вирішується в детермінованому просторі журналів ( ), виконується не більше, ніж у поліном ( ). Існує безліч класів складності між і . Приклади включають , , , , , . Широко поширена думка , що .$L$$P$$L$$P$$NL$$LogCFL$$NC^i$$SAC^i$$AC^i$$SC^i$$L \neq P$

В одному з моїх повідомлень в блозі я вже два підходи (поряд з відповідними припущеннями) на доказ . Обидва ці підходи засновані на розгалужувальних програмах і мають 20 років один від одного !! Існують і інші підходи і / або Гіпотези до поділу від (або) , що розділяють будь-які проміжні класи між і .$L \neq P$$L$$P$$L$$P$

Нижні межі глибини ланцюга (еквівалентно, нижчі межі формули) - це, мабуть, самий природний підхід: Супер $\log^2(n)$ нижня межа глибини для задачі в $\mathsf P$ відокремить $\mathsf P$ від $\mathsf L$ , а техніка складності зв'язку Карчмера-Вігдерсона може бути природним для цього.

[1] доводить нижню межу для екземплярів потоку mincost, розміри бітів яких досить великі (але все ще лінійні) порівняно з розміром графіка, і, крім того, доведено, що якби можна було показати ту саму нижню межу для входів досить малих бітовий розмір це означатиме (а отже, P ≠ L ). Це на високому рівні те саме, що відповідь Ноама в тому, що йдеться про доведення нижчих меж глибини ланцюга (= нижня межа формули), але, здається, зовсім інший напрямок, ніж ігри Карчмера-Вігдерсона.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$

Більш детально [1] показано наступне. Використовуючи те саме позначення, що і в роботі, нехай позначає мову мінімальної витрати. Ми можемо розглядати мову потоку з мінімальними потоками на n -верхніх графах, позначених L ( n ) , як підмножину Z k ( n ) для деякого k ( n ) = Θ ( n 2 ) , з цілими числами, закодованими бітовими рядками . Нехай B ( a , n ) позначає множину всіх векторів у Z k ( n $L$$n$$L(n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$$k(n) = \Theta(n^2)$$B(a,n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$де кожна ціла цільна координата має бітовий розмір щонайбільше . Давши функцію f ( x 1 , … , x k ) (ми вкажемо, яка функція пізніше), ми скажемо, що f відокремлює L ( n ) в межах B ( a , n ), якщо точки L ( n ) ∩ B ( a , n ) - це саме ті → x ∈ B ( a $an$$f(x_1, \dotsc, x_k)$$f$$L(n)$$B(a,n)$$L(n) \cap B(a,n)$ такий, що f ( → x ) = 1 .$\vec{x} \in B(a,n)$$f(\vec{x}) = 1$

Пропозиція [1, пропозиція 7.3] Якщо відокремлено в B ( a , n ) від det ( M ( → x ) ), де M - матриця розміром ≤ 2 n / d , записи якої (складні) лінійні комбінації з x 1 , … , x k і таке, що a < 1 / ( 2 d ) , тоді P ≠ $L(n)$$B(a,n)$$\det(M(\vec{x}))$$M$$\leq 2^{n/d}$$x_1, \dotsc, x_k$$a < 1/(2d)$ .$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$

Тут має вирішальне значення зв'язок між бітовим зв'язаним та розміром, пов'язаним з 2 n / d . У цьому ж документі він показав:$an$$2^{n/d}$

Теорема [1, теорема 7.4] Гіпотеза попереднього положення справедлива для всіх досить великих бітових меж .$a$

Доказ наведеної теореми використовує деякі важкі молотки як чорні ящики, але в іншому випадку є елементарним (зверніть увагу: "елементарний" " легко "). А саме, він використовує обмежену Мільнором-Томом кількість з'єднаних компонентів реальної напівалгебраїчної різновиди (той самий зв'язаний, який використовує Бен-Ор для доведення нижчих меж розрізненості елементів / сортування в реальній моделі дерева обчислень), розкладання Коллінза ( використовується для доведення ефективного усунення кількісних показників за R ), загального аргументу позиції та небагатьох інших ідей. Однак усі ці методи залежали лише від ступеня залучених поліномів, і тому їх не можна використовувати для доведення P ≠ N C, як у наведеному вище положенні (дійсно, [1, зв. 7.5] будує поліном$\neq$$\mathbb{R}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ тієї ж міри, що і det , що вищезазначена пропозиція не відповідає г на місці дет ). Аналіз цієї ситуації та пошук властивостей, які вийшли за рамки ступеня, були одним із натхненників GCT.$g$$\det$$g$$\det$

[1] К. Мулмулей. Нижні межі в паралельній моделі без бітових операцій . SIAM J. Comput., 28 (4), 1460–1509, 1999

Це зробило мій день, коли мій друг Джеймс сказав мені, що ця нитка здавна була знову розпалена. Дякую тобі за це.

Крім того, у мене виникло заклик поділитися цікавими посиланнями, які стосуються L vs Log (DCFL) проти Log (CFL). Хорошого дня!

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-14031-0_35#page-1

http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10003-2_89?no-access=true

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Language_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata

цю нову статтю щойно підкреслив Лука Ацето у своєму блозі як найкращий студентський документ EATCS на ICALP 2014 та має новий спосіб відокремлення NL / P:

• Результати твердості для перехрестя без порожнечі Wehar

  Ми ретельно переглядаємо конструкцію Каракостаса, Ліптона та Вігласа (2003), щоб показати, що проблема непрохідності перетину для DFA (детермінованих кінцевих автоматів) характеризує клас складності NL. Зокрема, якщо це обмежено алфавітом двійкової робочої стрічки, то існують постійні і c 2 такі, що для кожного k перетину непромінність для k DFA вирішується в просторі c 1 k log ( n ) , але не вирішується в c 2 k журнал ( n $c_1$$c_2$$k$$k$$c_1 k \log(n)$$c_2 k \log(n)$простір. Ми оптимізуємо конструкцію, щоб показати, що для довільної кількості перетину DFA не порожнеча не вирішується в простір. Крім того, якщо існує функціяf(k)=o(k)така, що для кожногоkперетину не порожнеча дляk DFA вирішується заnf(k)час, тоді P ≠ NL. Якщо не існує константа cтака, що для кожногоkперетину не порожнеча дляkDFA розв'язується вn$o \left( \frac{n}{\log(n) \log(\log(n))} \right)$$f(k) = o(k)$$k$$k$$n^{f(k)}$$c$$k$$k$$n^c$ час, тоді P не містить класу складності простору, більшого, ніж NL.