Наближення знакового рангу матриці

Ранг знаків матриці A з + 1, -1 записами - найменший ранг (над реалами) матриці B, який має такий самий шаблон знака, що і A (тобто для всіх i , j ). Це поняття важливе для складності спілкування та теорії навчання.$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

Моє запитання: Чи існують відомі алгоритми (субекспоненціальний час), які наближають знаковий ранг матриці до фактора ?$o(n)$

(Мені відомо, що нижня межа Форстера на знаковому рангу з точки зору спектральної норми, але це не дає відношення наближення краще, ніж загалом.)$\Omega(n)$

Я вважаю, що це питання відкрите.

Лі та Шрайбман в "Алгоритмі апроксимації для наближення рангу" показують, що апроксимаційний ранг можна наблизити до постійного коефіцієнта за допомогою алгоритму багаточленного часу. Для цього вони відносять величину напіввизначеного програмування до рангу наближення, де α є деяким кінцевим параметром, більшим за 1. Приведення α до межі нескінченності дає знаковий ранг, але їх результат у цьому нічого не дає налаштування.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

$O(n/\log n)$$d$$S$

• $M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• $S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$, який максимізовано на $d = \Theta(\log n)$.