Коли робити

Невільні рівноваги загалом незаперечні. -Nash рівновагу являє собою набір стратегій , де, враховуючи стратегію опонентів, кожен гравець отримує в межах від максимально можливого очікуваного виграшу. Знаходження -рівноваги Неша, заданого та гри, є -повне.$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\mathsf{PPAD}$

Виходячи суворо за визначеннями, схоже, немає особливих причин вважати, що стратегії заданого рівноваги Наша десь близькі до стратегій будь-якої рівноваги Неша. Однак ми часто бачимо, що література дещо неохайно використовує фразу типу "приблизно обчислити рівновагу Неша", коли це означає сказати "обчислити приблизну рівновагу Неша".$\epsilon$

Отже, мені цікаво, коли другий має на увазі перше; тобто для яких ігор ми можемо очікувати, що -Nash equilibria буде "близьким" до рівноваги Неша?$\epsilon$

Більш формально, припустимо, у мене гра $n$ гравців і послідовність профілів стратегій $(s_1^{(1)},\dots,s_n^{(1)}), (s_1^{(2)},\dots,s_n^{(2)}), (s_1^{(3)},\dots,s_n^{(3)}), \dots$.

Кожен $(s_1^{(i)},\dots,s_n^{(i)})$ є $\epsilon_i$-Наші рівноваги та послідовності $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\dots$ сходить до нуля.

Мої запитання:

1. Коли (за яких умов / припущень) всі стратегії сходяться? Тобто для кожного гравця$j$, $s_j^{(1)},s_j^{(2)},s_j^{(3)},\dots$ обов'язково сходиться.

2. За яких подальших умов межа цієї послідовності насправді є рівновагою Неша в грі? (Мені здається, що подальших припущень не потрібно; тобто , якщо всі стратегії сходяться, межа повинна бути НЕ.)

3. Коли складається алгоритм обчислення $\epsilon$-Наші рівноваги обов'язково мають на увазі алгоритм приблизно обчислювальних стратегій рівноваги Неша? Чи достатньо вищезазначених умов?

Дуже дякую!

Редагувати 2014-03-19

Прочитавши посилання у відповіді Рахуля, здається, розумніше думати з точки зору $\ell_1$відстані між розподілами, а не конвергентними послідовностями. Тому я спробую перефразувати питання, а також викладу кілька останніх думок.

1. (Ну, це занадто залежно від алгоритму, щоб дійсно відповісти. Без обмежень на алгоритм ви могли б мати дві чіткі рівноваги Неша, а потім, як ви підключаєте все менші та менші розміри $\epsilon$ в алгоритм, $\ell_1$ відстань між послідовними виходами все ще може бути великим, оскільки результати коливаються між рівновагою.)

2. Припустимо $p$- це стратегічний профіль, тобто розподіл продукту за стратегіями гравців. Для яких ігор ми можемо це сказати$p$ є $\epsilon$-Наші рівноваги мають на увазі $\|p - q\|_1 \leq \delta$для деякої рівноваги Неша , де як ? (Зверніть увагу, що зворотне значення має місце, якщо виплати обмежені )$q$$\delta \to 0$$\epsilon \to 0$$1$

   Це насправді хитро, тому що ми в налаштуванні складності того, що ми називаємо «грою» - це насправді послідовність ігор, параметризована , кількістю чистих стратегій («дій»). Отже, як , і відносні значення мають значення. Ось простий контрприклад, щоб показати відповідь не "всі ігри". Припустимо, ми зафіксуємо послідовність зменшувальних . Потім для кожного гру з двома гравцями на діях, де, якщо гравець виконує першу дію, вони отримують виграш незалежно від того, що грає інший гравець; якщо гравець грає другу дію, він отримує виграш$n$$n \to \infty$$\epsilon \to 0$$\epsilon_1,\epsilon_2,\dots$$\epsilon_n$$n$$1$$1-\epsilon_n$незалежно від того, що грає інший гравець; і якщо гравець виконує будь-яку іншу дію, він отримує виграш незалежно від того, що грає інший гравець.$0$

   Таким чином, кожна гра має -equilibrium (обидві грають другу дію), яка максимально далека в відстані від її єдиної рівноваги Неша (обидві грають першу дію).$n$$\epsilon_n$$\ell_1$

   Отже, два цікавих підпитання:

   1. Для фіксованої гри та фіксованого , чи є "досить малим" наведена вище умова (усі -equilibria близькі до рівноваги Неша).$n$$\epsilon$$\epsilon$
   2. Можливо, те саме питання по суті, але чи виконується умова, якщо різниці в окупності обмежуються постійною як .$n \to \infty$

3. Те саме питання, що і в (2), але стосується фактичної рівноваги, обчисленої алгоритмами. Я думаю, мабуть, ми отримаємо або алгоритмічні / конструктивні відповіді, або взагалі жодних, тому розрізнення не має великого значення.

Наступний документ принаймні формалізує поняття приблизної рівноваги, близьке до точної рівноваги, і доводить деякі пов'язані з цим структурні результати.

Пранджал Авасті, Марія-Флоріна Балкан, Аврим Блум, Ор Шеффет і Сантош Вемпала (2010). На рівновазі Неша ігор-стабільних наближень. У працях Третьої міжнародної конференції з теорії алгоритмічних ігор (SAGT'10), 78-89.

Зокрема, у статті наведено приклад класу ігор на питання 3.