Історія та стан проблеми відповідності графіка

Частина труднощів дізнатися більше про цю проблему полягає в тому, що проблема зіставлення графіків відрізняється від її набагато більш відомого двоюрідного брата, проблеми відповідності, але важко її відрізнити при використанні пошукових систем.

Дано два графіки $G=(V,E)$ та $G'=(V',E')$ такі, що $|V| = |V'|$, завдання полягає в тому, щоб знайти біекцію $\pi : V \rightarrow V'$ таку, щоб ця біекція встановлювала якомога більше відповідностей між ребрами $G$ і $G'$ .

Іншими словами, якщо $M$ і $M'$ є матрицями суміжності, то ми хочемо максимізувати

$\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)}$

Ця проблема чітко містить ізоморфізм графіків як особливий випадок і може бути зведена до двопартійного зіставлення при (неполіномному!) Скороченні.

Які алгоритми існують, і що відомо про його складність?

З статті Орієнтовний графік ізоморфізму :

$G_1,G_2$$π$$V(G_1)$$V(G_2)$$n^{O(\log{n})}$$α < 1$$α$$n^{O(\log{n})}$алгоритм апроксимації помилок добавки до часу Arora et al. [Математика. Програма., 92, 2002] з простим алгоритмом усереднення. Ми також розглянемо відповідне завдання мінімізації (розбіжності) і довести , що він є NP-важкою для -approximate для будь-якого фактора постійна . Далі ми покажемо, що також NP-важко наблизити максимальну кількість ребер, відображених до країв, що перевищують коефіцієнт 0,94.$α$$α$

Я не маю уявлення про вашу проблему. Але мені здається, я знаю велику (найвищу) колекцію робіт, що стосуються алгоритмів відповідності графіків із PDFS . Оплески Сет Петті!

Документ, на який вказував @Austin Buchanan вище, про приблизний ізоморфізм графіка, схоже, не відповідає заданій версії. Я припускаю, що матриця примикання має запису, і в цьому випадку метою є вимірювання лише відповідних ребер. Орієнтовна модель ізоморфізму Графа вимірює обидва збігаються нерівних ребер, що робить її трохи простішою з точки зору наближення.$0,1$

Здається, що задана проблема є щонайменше такою ж важкою проблемою щільний підграф, яка в даний час допускає лише поліноміальне наближення. Дивіться http://arxiv.org/abs/1001.2891 та http://arxiv.org/abs/1110.1360 для отримання більш детальної інформації та поточного стану щодо алгоритмів та твердості.$k$

Тепер про скорочення. Припустимо, ми хочемо вирішити задачу щільність-підграф у графі ; тобто ми хочемо знайти підмножину вузлів яка максимально збільшує кількість ребер в індукованому графіку . Ви можете зменшити це на вашу проблему, встановивши в графі , що складається з кліка на -vertices і ізольованих вершин, і встановлюється рівним .$k$$H$$k$$S$$G[S]$$G$$k$$n-k$$G'$$H$