Чи можете ви визначити суму двох перестановок у поліноміальний час?

Були два питання нещодавно запитав про cs.se , які були або пов'язані або мали особливий випадок , еквівалентний наступного питання:

Припустимо , у вас є послідовність 1 , а 2 , ... п з чисел таких , що Розкладемо його в суму двох перестановок, і , з , так що .$a_1, a_2, \ldots a_n$a i = π i + σ $n$$\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$$\pi$$\sigma$$1 \dots n$$a_i = \pi_i + \sigma_i\,$

Існують деякі необхідні умови: якщо відсортовано так, що , тоді ми повинні матиa 1 ≤ a 2 ≤ … ≤ a $a_i$$a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$

Однак цих умов недостатньо. З відповіді на це запитання, яке я задав, математичну послідовність 5,5,5,9,9,9 не можна розкласти як суму двох перестановок (це можна побачити, використовуючи той факт, що обидва 1 або 5 можуть бути в парі з 4).

Отже, моє запитання: у чому полягає складність цієї проблеми?

Ні, ви не можете ідентифікувати суму двох перестановок у поліноміальний час, якщо P = NP. Ваша проблема є NP-завершеною, оскільки версія рішення вашої проблеми еквівалентна проблемі -повного NP- числового зіставлення з цільовими сумами:$2$

Вхідний сигнал: Послідовність позитивних цілих чисел, Σ п я = 1 з I = п ( п + 1 ) , 1 ≤ я ≤ 2 п для 1 ≤ я ≤ $a_1, a_2, \ldots a_n$$\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$$1 \le a_i \le 2n$$1 \le i \le n$

Запитання: Чи є дві перестановки і ψ 2 такі, що ψ 1 ( i ) + ψ 2 ( i ) = a i при 1 ≤ i ≤ n ?$\psi_1$$\psi_2$$\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$$1\le i \le n$

У довідці було доведено, що сильно обмежений варіант НУМЕРИЧНОГО 3-РОЗМІЧНОГО МЕТЧИНУ (RN3DM) є сильно NP-завершеним.

RN3DM, З огляду на мультімножество цілих чисел і цілого числа e таких, що ∑ n j = 1 u j + n ( n + 1 ) = n e , чи існують дві перестановки λ і μ такі, що u j + λ ( j ) + μ ( j ) = $U = \{u_1, . . . , u_n\}$$e$$\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$$\lambda$$\mu$$u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$, Для ?$j = 1, . . . , n$

Існує легке зниження від RN3DM до числового зіставлення з цільовою сумою проблеми: З огляду на примірник RN3DM. Побудуємо відповідний екземпляр, зробивши в I = е - у я для 1 ≤ я ≤ $2$$a_i= e-u_i$$1 \le i \le n$

В. Ю., Х. Хугевен і Дж. К. Ленстра. Мінімізація пробігу в цеху потоку на двох машинах із затримками та операціями, що працюють в одиницю часу, є важким для NP . Журнал планування, 7: 333–348, 2004

РЕДАКТИРУЙТЕ 1 жовтня : Ваша проблема називається ВІДМОВЛЕННЯМИ СУМИ. Він перерахований з 1998 року у ВІДКРИТИХ ПРОБЛЕМ У КОМБІНАТОРНІЙ ОПТИМІЗАЦІЇ Стіва Хедтнємі.

З іншого боку, Маршалл Холл показав, що можна легко визначити різницю двох перестановок.