Чи

У опитуванні «Малі глибинні квантові схеми» Д. Бера, Ф. Гріна та С. Гомера (стор. 36 Новин ACM SIGACT, червень 2007, т. 38, № 2) я прочитав таке речення:

Класична версія (в якій ворота A N D і O R мають максимум постійну вентиляцію) виявляється слабкіше, ніж A C 0 .$QAC^0$$AND$$OR$$AC^0$

Посилання на цю претензію відсутнє. Я буду називати цей клас , де b f означає "обмежений вентилятор". (Зоопарк складності не працює, і я не можу перевірити, чи такий клас вже має назву в літературі). Якщо припустити необмежену вентиляцію для вхідних бітів, то ці схеми здаються еквівалентними формулам постійної глибини аж до поліноміального збільшення розміру, тому вищенаведена заява не має сенсу. Натомість, якщо ми припускаємо обмежений вентилятор для вхідних бітів, то я не можу придумати жодної мови, що відокремлює цей клас від A C 0 . Можливим кандидатом може бути мова X : = { x $AC^0_{bf}$$bf$$AC^0$ ,тобтомова рядків лише з однією 1. Легко показати X ∈ A C 0 , але мені не вдалося довести, що X ∉ A C 0 b f .$X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$$X \in AC^{0}$$X \notin AC^{0}_{bf}$

Питання:

Чи насправді слабкіший за A C 0 ? Якщо це є, будь-яка ідея чи будь-яка посилання на те, як її довести? І що це за мова, яка розділяє ці два класи? Що з X ?$AC^0_{bf}$$AC^0$$X$

Обмежений вентилятор вхідних бітів і воріт зробить розмір схеми лінійним. Нехай є обмеженим на вентиляторі воріт та входів. Це DAG з максимальним ступенем, обмеженим k і max довжиною довжини d . Кількість доступних проводів на кожному рівні може збільшуватися k разів, а кількість доступних проводів вгорі - k n , тому загальна кількість проводів у ланцюзі становить не більше k n ∑ $k$$k$$d$$k$$kn$що єO(n).$kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$$O(n)$

Будь- С 0 функція , яка вимагає супер-лінійний розмір буде окремий клас функцій з обмеженим вентилятором-ауту (застосовується також для вхідних бітів) з A C 0 . Ось кілька прикладів:$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}$

1. [CR96]: З 0 функції, потреба супер-лінійного розміром є 1$\mathsf{AC^0}$ приблизний селектор$\frac{1}{4}$. А -приблизний селектор - це будь-яка функція, значення якої:$\frac{1}{4}$

   • щоразу, коли число 1 с становить максимум$0$$1$ ,$\frac{n}{4}$
   • щоразу, коли число 0 с становить максимум$1$$0$ ,$\frac{n}{4}$
   • може бути або 1 в іншому випадку.$0$$1$

2. [Рос08] показує, що -clique має складність A C 0 функцій n Θ ( k $k$$\mathsf{AC^0}$$n^{\Theta(k)}$ ( вхідних біта можливі ребра графа з n вершинами). Це дає супернизуючий розмір лінії для k > 2 .$n^2$$n$$k\gt 2$

3. Можливо, можна узагальнити приклад у 2-х балах до існування будь-якої нетривіальної (вимагає більше одного біта) фіксованої індукованої підструктури в заданій не упорядкованій структурі, наприклад:

   • наявність шляху в довжині 2 у заданому графіку,
   • ,$\#_1(x)=2$

   оскільки вони вимагають надмірно постійної кількості воріт залежно від біта, що неможливо в .$\mathsf{AC^0_{bf}}$

4. Найпростіший приклад - це затвор копіювання, тобто затвор, який створює копії вхідного біта. Це неможливо в A C 0 b f, оскільки тільки O ( 1 ) затворів може залежати від кожного вхідного біта.$\omega(1)$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$O(1)$

Також будь-яка схема розміром S може бути перетворена на формулу розміром не більше k d S і тому має формулу A C 0 b f розміром k 2 d + 1 n, тому будь-яка функція надлінійної A C 0 складність формули не буде в A C 0 b f .$\mathsf{AC^0_{bf}}$$S$$k^dS$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$k^{2d+1}n$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0_{bf}}$

Список літератури:

[CR96] S. Chaudhuri та J. Radhakrishnan, " Детерміновані обмеження складності ланцюга ", 1996

[Ros08] Бенджамін Россман, " Про постійну глибину складності k-Clique ", 2008

[Juk] Стасіс Юкна, " Булева функціональна складність: аванси та межі ", проект