(N) DFA з однаковими початковими / приймаючими станами

13

Що відомо про клас мов, розпізнаваний кінцевими автоматами, що мають однаковий початковий і приймаючий стан? Це належна підмножина звичайних мов (оскільки кожна така мова містить порожню рядок), але наскільки вона слабка? Чи є проста алгебраїчна характеристика?

Дітто для мов, розпізнаних недетермінованими автоматами, що мають однаковий набір початкових і приймаючих станів.

— Ноам Зейльбергер
джерело

13

Припускаючи, що ви маєте на увазі, що початковий стан повинен бути унікальним приймаючим станом, кінцеві автомати, що мають цю структуру, відповідають мовам регулярних виразів форми , де - деякий регулярний вираз.

r^{*}

$r^*$

r

$r$

— Гек Беннетт

Ах, звичайно. Спасибі! Якщо ви хочете опублікувати цей коментар як відповідь, я прийму його і закрию питання.

— Noam Zeilberger

8

Це питання вирішено як для детермінованих автоматів, так і для однозначних автоматів у книзі [1]

[1] Дж. Берстель, Д. Перрін, С, Рейтенауер, Коди та автомати, Вип. 129 Енциклопедії математики та її застосувань, Cambridge University Press, 2009.

У випадку детермінованих автоматів характеристика наведена у пропозиції 3.2.5. Нагадаємо , що подмоноід з є право унітарною , якщо для всіх , означає . $M$ $A^*$ $u, v \in M$ $u, uv \in M$ $v \in M$

Пропозиція . Нехай - звичайна підмножина . Наступні умови еквівалентні: $L$ $A^*$

$L$ - правильний унітарний підмоноїд,

$L = P^*$ для деякого коду префікса , $P$

Мінімальний автомат має унікальний кінцевий стан, а саме початковий стан. $L$

Існує детермінований автомат, що розпізнає має початковий стан, як унікальний кінцевий стан. $L$

Для однозначних автоматів характеристика випливає з теореми 4.2.2 і може бути викладена так:

Пропозиція . Нехай - звичайна підмножина . Наступні умови еквівалентні: $L$ $A^*$

$L$ - вільний підмоноїд , $A^*$

$L = C^*$ для деякого коду , $C$

Існує однозначний автомат, що розпізнає має початковий стан, як унікальний кінцевий стан. $L$

Нарешті, для недетермінованих автоматів характеристика полягає просто у тому, що є підмоноїдом . $L$ $A^*$

— Ж.-Є. Шпилька
джерело

1

Можливо, варто поглянути на одноманітну монологічну розкладку Ейленберга на регулярні (раціональні в його термінології) мови. Я не маю при собі копії книги, але це десь у попередніх розділах «Автомати, мови та машини», том А (1974).

— gdmclellan

1

@gdmclellan Ви абсолютно праві. Точним посиланням є гл. IV, Пропозиція 3.2.

— Ж.-Є.

Чи можемо ми в обох пропозиціях додати, що і є регулярними? Тобто для деякого префікса коду де може бути обраний як регулярний?

P

$P$

C

$C$

L = P^{*}

$L = P^*$

P

$P$

P

$P$

— StefanH

14

Кінцеві автомати, в яких початковий стан є також унікальним приймаючим станом, мають вигляд , де - деякий регулярний вираз. Однак, як говорить J.-E. Зверніть увагу на наведене нижче, зворотне - неправда: є мови форми які не приймаються DFA з унікальним приймаючим станом. $r^∗$ $r$ $r^*$

Інтуїтивно зрозуміло, що для даної послідовності станів таким, що або або діаграма в основі стану повинна мати цикл, що включає . Останній випадок, алгебраїчно захоплений зіркою Клейна. $q_0, \ldots, q_n$ $q_0 = q_n$ $n = 0$ $q_0$

— Гек Беннетт
джерело

2

Мови, прийняті автоматом, у якому початковий стан є також унікальним приймаючим станом, безумовно, мають форму . Однак ця умова не характеризує мови, прийняті такою DFA. Наприклад, будь-який DFA, що приймає мову має щонайменше 2 кінцевих стани.

r^{*}

$r^*$

(a, a b)^{*}

$(a, ab)^*$

— Ж.-Є.

2

Я думаю, що правильна характеристика така: приймається мінімальним DFA, стартовий стан якого є єдиним прийнятим станом, якщо і лише тоді, коли має форму де містить префікса . Я пам’ятаю, що знайшов це в дисертації MS / PhD з 70-х, але не можу знайти посилання. У всякому разі, це не надто важко довести.

L

$L$

L

$L$

α^{*}

$\alpha^*$

α

$\alpha$

— mikero

@ J.-E.Pin: Так, дякую, я оновив свою відповідь.

— Гек Беннетт

10

Важливим підкласом цього сімейства є підклас 0-зворотних мов. Мова є 0-зворотною, якщо зворот мінімальної DFA для цієї мови також детермінований. Операція реверсування визначається як підміна початкового та кінцевого станів та інвертування крайового відношення DFA. Це означає, що 0-оборотна мова може мати лише один приймаючий стан. Ваше запитання додає ще одне обмеження, що цей стан має бути початковим. Ваше обмеження не визначає 0-зворотні мови, оскільки мінімальний DFA для цих мов може мати різні початкові та кінцеві стани.

Клас оборотних мов цікавий тим, що це була одна з перших сімей мов з нескінченно багато рядків, яку можна було вивчити лише з позитивних прикладів. Доповідь Англуйна також дає алгебраїчну характеристику.

Висновок оборотних мов , Dana Angluin, Journal of the ACM, 1982

— Vijay D
джерело

1

Ви можете звернутися до напівцвіткових автоматів, як зазначено в їхньому документі: "Напівпотужний автомат (SFA) - це обрізний автомат з унікальним початковим станом, рівним унікальному фінальному стану, в якому всі цикли повинні проходити через початковий - остаточний стан ". Зверніться до "ГОЛОНОМІЧНОГО ВІДКРИТТЯ ЦИРКУЛЯРНОЇ АВТОМАТИКИ НАПРЯМОГО КВІТКА" -Шубх Нараян Сінгх, К. В. Кришна.

— Віреш
джерело