Цілі корені многочлена

Який алгоритм ми можемо використати для пошуку всіх цілих коренів многочлена з цілими коефіцієнтами? $f(x)$

Я зауважую, що мудрець може знайти коріння протягом декількох секунд, навіть коли всі коефіцієнти дуже великі. Як це можна зробити? $f(x)$

ds.algorithms na.numerical-analysis

— user12290
джерело

Ви шукаєте алгоритм, щоб повернути цілий корінь даного многочлена? Якщо так, це не можна визначити, і питання тут не є темою. Ви можете запитати його в інформатиці, яка має ширший спектр застосування.

— Kaveh

Зачекай. Чому невизначення робить це питання поза темою? Це законне питання рівня дослідження.

— Jeffε

Отже, як це робить Сейдж? Те, що не можна визначити, навіть будучи загальновідомим, що не можна визначити, не робить проблему теоретично нецікавою. Теоретичні комп'ютерні фахівці постійно вирішують невирішені проблеми - див., Наприклад, всю комп'ютерну перевірку.

— Jeffε

f (x)

$f(x)$

f (x)

$f(x)$

d

$d$

d

$d$

@Pratik Вам не потрібні бази Грьобнера в універсальній справі.

— Yuval Filmus

$f$

У будь-якому випадку документація Sage чітко пояснює, як вони роблять кореневий пошук: "Наступний метод, який застосовується, якщо K є цілісною областю, - це спроба розподілити поліном. Якщо це вдасться, то для кожного ступеня-один фактор a * x + b, ми додаємо -b / a як корінь (доки цей коефіцієнт насправді знаходиться у бажаному кільці). " Див. Http://www.sagemath.org/doc/reference/polynomial_rings/sage/rings/polynomial/polynomial_element.html .

Отже, ваше запитання стає, як вони ефективно розбивають многочлени на цілі коефіцієнти? Мабуть, Sage закликає NTL для цього (див. Http://www.shoup.net/ntl/doc/ZZXFactoring.txt для деталей NTL).

Якщо ви хочете асимптотично ефективний метод, ви можете звернутися до методу Ленстра, Ленстра і Ловаш ( https://openaccess.leidenuniv.nl/handle/1887/3810 ).

— мінар
джерело

Дякуємо за корисну підказку! Захоплююче. Чи можете ви бути готовими відредагувати свою відповідь, щоб розібратися, як перетворити це на алгоритм і який його час роботи? Чи найгірший показник часу роботи експоненціальний (адже це може зайняти субекспоненціальний час для множення, і тоді може бути експоненціально багато дільників провідного і кінцевого коефіцієнта)? Якщо так, то чи існують кращі алгоритми, чи це найкращий варіант? Крім того, чи не знайде цей підхід лише раціональні корені, але не ірраціональні корені?

— DW

Перечитавши питання і побачивши, що ви його трактуєте по-різному, я вже не повністю впевнений, але мені і деяким коментаторам здавалося зрозумілим, що питання задає цілі корені. Ти не читаєш це так?

— мін

@minar, ти маєш рацію. Тепер, коли я перечитував питання, це здається саме таким. Я, мабуть, занадто швидко прочитав питання. (Я спочатку неправильно трактував питання як таке, що маємо на увазі, що ми хочемо, щоб усі корені многочлена з цілими коефіцієнтами були, але при повторному прочитанні питання це здається неправильним тлумаченням.)

— DW

Для асимптотичного та практично ефективного методу найвідоміший алгоритм - Ван Хоей (див. Тут ). Власне, NTL, здається, використовує його.

— Бруно