Максимальна кількість внутрішніх вершин-роз'єднаних непарних доріжок st

Нехай - непрямий простий графік, а - окремі вершини. Нехай довжина простого шляху дорівнює кількості ребер на шляху. Мені цікаво обчислити максимальний розмір набору простих st-шляхів таким чином, щоб кожен шлях мав непарну довжину, а набори вершин кожної пари шляхів попарно перетиналися лише в s та t. Іншими словами, я шукаю максимальну кількість внутрішніх вершин-роз'єднаних непарних доріжок. Я думаю, що це має бути обчислено поліноміально-часовим методом на основі методів відповідності або на основі потоку, але мені не вдалося придумати алгоритм. Ось що я знаю про проблему.s , t ∈ V ( G $G$$s,t \in V(G)$

1. Ми можемо замінити обмеження на непарну довжину парною довжиною; це насправді не впливає на проблему, оскільки одна перетворюється на іншу, якщо ми поділимо всі ребра, що падають на s.

2. Якщо немає обмеження в парності шляхів, то теорема Менгера дає відповідь, яку можна отримати, обчисливши максимальний потік.

3. Задача про визначення максимальної кількості циклів, що перетинаються вершиною, непарної довжини, які попарно перетинаються лише в заданій вершині v, обчислюється в поліноміальний час відповідним трюком: побудуйте графік G 'як нероз'ємний союз і , додаючи ребра між двома копіями однієї вершини; максимальна відповідність у цьому графіку розміру означає, що максимальна кількість непарних циклів через дорівнює ; ця конструкція описана у доказі леми 11 Про непарний варіант гіпотези Хадвігера .( G - N G [ v ] ) | V ( G ) | - | N G [ v ] | + k v $(G - {v})$$(G - N_G[v])$$|V(G)| - |N_G[v]| + k$$v$$k$

4. Якщо графік спрямований, то тестування на наявність єдиного парного шляху довжиною вже є NP-завершеним.

5. Стаття Проблема рівного шляху для графіків та діаграм Лапо та Пападімітріу може бути актуальною, але, на жаль, наша бібліотека не підписана на інтернет-архів і у нас немає паперової копії.

Будь-яка думка буде дуже вдячна!

По-перше, зауважте, що: задано графік , дві розрізнені вершини s , t ∈ V та ціле число k , проблема вирішення питання про те, чи існують k внутрішньо вершинно-розмежуваних шляхів непарної довжини між s та t є поліноміально еквівалентно вирішенню, чи існує k шляхів парної довжини між s та t . Скорочення легко. Щоб зменшити від одного випадку до іншого, просто підрозділіть кожен край, що прилягає до t . Нехай G $G=(V,E)$$s,t \in V$$k$$k$$s$$t$$k$$s$$t$$t$$G'$бути отриманим графіком. Тоді має k непарної довжини вершинно-роз'єднаних шляхів між s та t iff G ′ має k парних вершин-неперервних шляхів між s та t .$G$$k$$s$$t$$G'$$k$$s$$t$

Отже, якщо одна з цих проблем є NP-повною, то й інша. Тепер Ітаї, Перл і Шилоах показують, що проблема вирішення питання про існування вершинно-роз'єднаних шляхів довжиною п'ять між s і t є NP-повною [ Складність пошуку максимальних непересічних шляхів з обмеженням довжини . Мережі, Том 12, Випуск 3, сторінки 277-2-286, 1982.] Скорочення відбувається від 3SAT і в побудованому графіку шляхи непарної довжини між s і t мають довжину рівно п’ять. Звідси проблема вершино-відмежованих нерозмірних довжин доріжок у NP-повному, так само, як і вершина-роз'єднана парна довжина.$k$$s$$t$$s$$t$

Сподіваюся, це допомагає.

(Це не відповідь, але я поки не можу прокоментувати). Я думаю, що вищезазначена відповідь не працює, оскільки це не гарантує, що шляхи будуть непересічними. Один шлях може використовувати u ', а інший u' в G '; в G вони будуть використовувати ту саму вершину u.