Хороша довідка про приблизні методи вирішення логічних задач

Відомо, що багато логічних задач (наприклад, проблеми задоволеності декількох модальних логік) не вирішуються. Існує також безліч невирішених проблем в теорії алгоритмів, наприклад, у комбінаторній оптимізації. Але на практиці евристи і приблизні алгоритми добре працюють для практичних алгоритмів.

Тож можна очікувати, що приблизні алгоритми для логічних задач також можуть бути придатними. Однак єдиною тенденцією пошуку в цьому напрямку, яку мені вдалося знайти, є проблема max-SAT, і її розвиток був активним у дев'яностих роках.

Чи є якісь інші активні тенденції дослідження, семінари, ключові слова, хороші довідки щодо використання та розробки наближених методів модальної логіки, логічного програмування тощо?

Якщо очікується, що автоматизоване міркування здобуде чільне місце у майбутніх застосуваннях інформатики, тоді доведеться мати можливість вийти за межі логіки обмежень невизначеності, а приблизні методи чи евристика можуть бути природним шляхом, чи не так?

Мотивація, яку ви заявляєте, для боротьби з невідчутністю, стосується також вирішальних, але важких проблем. Якщо у вас є проблема, яка є важкою для NP або PSPACE, нам зазвичай доведеться використовувати певну форму наближення (у широкому розумінні цього терміна), щоб знайти рішення.

Корисно розрізняти різні поняття наближення.

• $\varepsilon$
• $\delta$

$(\varepsilon,\delta)$

Ось приклад іншого поняття наближення. Припустимо, ви виконуєте обчислення, як множення двох великих чисел, і хочете перевірити, чи правильно це множення. Існує безліч евристичних прийомів, які застосовуються на практиці для перевірки правильності, не повторюючи обчислення знову. Ви можете перевірити, чи знаки були помножені, щоб отримати правильний знак. Ви можете перевірити, чи мають числа правильний паритет (властивості парних / непарних чисел). Ви можете використовувати більш складний чек, як викидання дев'яти. Усі ці методи мають загальну властивість, яку вони можуть вам сказати, якщо ви помилилися, але вони не можуть гарантувати, якщо ви отримали правильну відповідь. Ця властивість може розглядатися як логічне наближення, тому що ви, можливо, зможете довести, що початковий розрахунок невірний, але ви не зможете довести, що він правильний.

Усі перевірки, про які я згадував вище, є прикладами методики, яка називається абстрактною інтерпретацією. Абстрактна інтерпретація робить абсолютно суворим поняття логічного наближення, відмінне від числового та ймовірнісного наближення. Проблема, яку я описав при аналізі одного розрахунку, поширюється на більш складний випадок аналізу програми. У літературі з абстрактної інтерпретації розроблені методи і рамки для наближених, логічних міркувань про програми, а останнім часом і про логіку. Наступні посилання можуть бути корисними.

1. Абстрактна інтерпретація у двох словах Патріка Кусо, яка є простим оглядом.
2. Огляд абстракції Патріка Кусота, як частина його курсу. Є дуже приємний приклад абстракції для визначення властивостей букета квітів. Аналогія букета включає фіксовані точки і може бути зроблена повністю математично точно.
3. Курс з абстрактної інтерпретації Патріка Кусота, якщо ви хочете всю глибину та деталі.
4. Абстрактне тлумачення та застосування до логічних програм , Патрік Кусот та Радхіа Кусот, 1992 р. Застосовується до логічних програм відповідно до вашого запиту. Початковий розділ також формалізує процедуру виведення дев'яти як абстрактну інтерпретацію.

Все це, як правило, застосовувалося для міркувань щодо комп'ютерних програм. Проведено досить недавню роботу щодо застосування ідей від абстрактної інтерпретації для вивчення процедур прийняття рішень для логіки. У центрі уваги була не модальна логіка, а задоволення в логіці пропозицій та теоріях першого порядку, що не мають кількісних показників. (Оскільки я працював у цьому просторі, один документ нижче - мій)

1. Узагальнення методу Стаальмарка Адітії Тхакур та Томаса Репса, 2012. Дає узагальнення методу Стаальмарка на проблеми програмного аналізу.
2. Скорочений продукт абстрактних доменів та поєднання процедур прийняття рішень , Патрік Кузот, Радхіа Кусот та Лоран Мобернь, 2011. Цей документ вивчає техніку Нельсона-Оппена для поєднання процедур прийняття рішень і показує, що її можна також використовувати для неповних комбінацій, які особливо цікаво, якщо у вас є нерозв'язні проблеми.
3. Розв'язувачі задоволення - це статичні аналізатори , моя робота з Леопольдом Галлером та Даніелем Кронінг, 2012. Застосовує наближення ґратчастого наближення для характеристики існуючих рішачів. Ви також можете подивитися на мої слайди на тему .

Тепер жоден з вищезазначених робіт не відповідає на ваше конкретне питання щодо нападу на проблеми задоволення, які не можна визначити. Ці документи роблять - орієнтоване на орієнтацію на логічні проблеми, які не є числовими чи імовірнісними. Цей погляд широко застосовується для міркувань щодо програм, і я вважаю, що він вирішує саме те, що ви просите.

Щоб застосувати його до модальної логіки, я б запропонував відправною точкою використовувати алгебраїчну семантику Йонсона та Тарського або пізнішу семантику Леммона та Скотта. Це тому, що абстрактна інтерпретація сформульована з точки зору решіток та монотонних функцій, тому булеві алгебри з операторами є зручною семантикою для роботи. Якщо ви хочете почати з кадрів Крипке, ви можете застосувати теорему про подвійність Джонссона та Тарскі (яку деякі можуть назвати подвійністю Стоун) та отримати алгебраїчне подання. Після цього можна застосувати теореми абстрактної інтерпретації для логічного наближення.