Чому Агда і Кок не згодні з суворою позитивністю?

Я натрапив на заплутану незгоду між Агдою та Кок, яка, очевидно, не пов'язана з найбільш відомими відмінностями між їх теоріями типів (наприклад, (не) прогнозованість, індукція-рекурсія тощо).

Зокрема, Agda приймає таке визначення:

  data Ty : Set0 -> Set0 where
    c1 : Ty ℕ
    c2 : Ty (Ty ℕ)

тоді як еквівалентне визначення Coq відкидається, оскільки поява [Ty _] як самого індексу в c2 вважається порушенням суворої позитивності.

  Inductive Ty : Set -> Set :=
    | c1 : Ty nat
    | c2 : Ty (Ty nat).

Насправді цей випадок є майже дослівним прикладом із розділу 14.1.2.1 Coq'Art про порушення суворої позитивності:

  Inductive T : Set -> Set := c : (T (T nat)).

Але я не бачу причин такої різниці між теоріями типів. Класичний приклад доведення помилкового використання негативного явища типу в аргументі конструктора мені зрозумілий, але я не можу зрозуміти, як можна вивести протиріччя із цього стилю індексації (незалежно від строго позитивних аргументів конструктора).

Обмірковуючи літературу, стаття "Індуктивних сімей" Діб'єра невідкладно коментує рішення Пауліна-Морінга в документі CID, що має дещо інші обмеження, і тумано припускає, що відмінності можуть бути пов'язані з непередбачуваністю, але не розглядають далі. Папір Діб'єра, здається, дозволяє це, тоді як Палін-Морінг чітко забороняє це.

Мабуть, я не вперше помітив цю різницю думок, і деякі вважають, що це визначення не повинно бути дозволене в жодній системі ( https://lists.chalmers.se/pipermail/agda/2012/004249.html ), але Я не знайшов пояснень, чому це звук в одній системі, але не в іншій, або просто різниця в думках.

Тож, мабуть, у мене є кілька питань:

1. Це приклад монотонного, але не строго позитивного типу? (В Coq; явно Агда вважає це суто позитивним)
2. Чому Агда дозволяє це, поки Кок це відкидає? Це просто ідіосинкратична різниця в трактуванні "строго позитивного", чи є тонка різниця між Кок і Агдою, яка робить це звуком в Агді і невідомим у Кока, або це питання смаку, обумовлене певними теоретичними уподобаннями?
3. Чи є змістовна різниця між першим визначенням вище та еквівалентним індуктивно-рекурсивним визначенням нижче?

Індуктивно-рекурсивне визначення:

  mutual
    data U : Set0 -> Set0 where
      c : (i : Fin 2) -> U (T i)
    T : Fin 2 -> Set0
    T zero = ℕ
    T (suc zero) = U ℕ

Я радий мати покажчики на відповідну літературу.

Заздалегідь спасибі.

Проблема, здається, плутанина внаслідок злиття двох факторів:

1. Я використовував усталену версію Agda (2.3.0.1). Здається, що до 2.3.2, Agda просто не перевіряла сувору позитивність показників результатів конструктора (див. Помилку, яку я пов’язував в іншому місці в потоці).
2. Більш детальне читання статті " Індуктивні сім'ї" Діб'єра говорить про те, що він, можливо, мав намір, щоб визначений індуктивний тип не був пов'язаний під час введення показників результату конструктора . Розділ 3.2.1 подає схему для індуктивних конструкторів у прозовій формі, і, мабуть, я неправильно читаю мову, що описує середовища зв’язування кожної частини схеми.

Це більш детальне читання, звичайно, узгоджується з перевіркою, яку виконують Coq та (останні версії) Agda, що забороняє появу Т у власних показниках.

Можлива причина різниці, як натякають ваші власні зауваження, - непередбачуваність. Coq історично мав непередбачуваний набір (все ще доступний як прапор, я вірю!)

Цитуючи книгу Адама Чліпала http://adam.chlipala.net/cpdt/html/Universes.html

Інструменти Coq підтримують прапор командного рядка -impredicative-set, який модифікує Gallina більш фундаментальним способом, роблячи Set непередбачуваним. Термін, як forall T: Set, T має тип Set, а індуктивні визначення в Set можуть мати конструктори, які кількісно визначають аргументи будь-яких типів. Для збереження узгодженості необхідно встановити обмеження усунення, подібно до обмеження для Prop. Обмеження застосовується лише до великих індуктивних типів, де деякі конструктори кількісно визначають тип типу Type. У таких випадках значення цього індуктивного типу можуть бути узгоджені лише для отримання типу результату, типом якого є Set або Prop. Це правило суперечить правилу для Prop, де обмеження застосовується навіть до великих великих індуктивних типів, і де тип результату може мати лише тип Підп. У старих версіях Coq Set за замовчуванням був непередбачуваним. Пізніші версії роблять Set предикативними, щоб уникнути невідповідності деяким класичним аксіомам. Зокрема, слід бути уважним при використанні непередбачуваного набору з вибором аксіом. У поєднанні з виключеною середньою чи предикатною розширеністю може призвести непослідовність. Наслідкована множина може бути корисною для моделювання невід'ємних математичних понять, але майже всі розробки Coq прекрасно обходяться без неї.