Проста проблема, розбірливість якої не відома

Я готуюсь до бесіди, спрямованої на бакалаврські математичні спеціальності, і в рамках неї я розглядаю концепцію прийнятності. Я хочу навести приклад проблеми, про яку наразі ми не знаємо, що вона може бути вирішальною чи невирішеною. Таких проблем існує багато, але жодна з них, схоже, поки не виділяється як приємні приклади.

Що є простою для опису проблемою, чиє рішення може бути відкритим?

Задача про матричну смертність для матриць 2x2. Тобто, з урахуванням кінцевого списку 2х2 цілочисельних матриць M ₁ , ..., M _k , чи можна множити M _i в будь-якому порядку (з довільним безліччю повторів) для отримання матриці all-0?

(Відомо, що випадок 3x3 не можна визначити. Випадок 1x1, звичайно, вирішується.)

ОНОВЛЕННЯ: Про проблему, про яку я згадав тут, зараз відомо, що не можна визначити! http://arxiv.org/abs/1605.05274 Більше того, цей документ відповів натхненням. :)

Програмісти у вашій основній аудиторії з математики можуть здивуватися, дізнавшись, що питання "чи цей тип неявно перетворюється на цей тип?" невідомо, що його можна вирішити в будь-якому з Java 5, C # 4 та Scala 2.

Більш детально див. Статтю Ендрю Кеннеді та Бенджаміна Пірса "Про розбірливість номінального підтипу з варіацією" . У статті наведено кілька прикладів додаткових обмежень для типів систем цих мов, згідно з якими номінальне підтипування стає відомим підлягати вирішенню або, як відомо, не можна визначити.

Цікаво, що стаття була написана задовго до того, як до C # було додано загальну коваріантність та протиріччя, але автори вірно передбачили, у якому напрямку йде мова. (Це не дивно; автори розробили основну підтримку дисперсії в CLR, якою я скористався, додавши дисперсію до C #! Вони зробили важкий підйом.)

Десята проблема Гільберта щодо раціональних: "Чи має це поліноміальне рівняння раціональне рішення?"

Проблема заданого лінійного повторення разом з його початковими значеннями, чи приймає воно значення 0?

Дві посилання:

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positiz12.pdf

Проста проблема, розбірливість якої невідома, полягає в наступному (я думаю, вона все ще відкрита):

Нескінченні шахи :

Введення : Кінцевий список шахових фігур та їх вихідні позиції на шаховій дошці ; Питання : Чи може біла сила спаровуватися?$Z \times Z$

Якщо ми додамо обмеження, що Білий повинен поєднуватися в ходах ( - частина вводу), то він стає вирішальним: див. Ден Брамлев, Джоел Девід Хемкінс та Філіп Шліхт. Проблема нескінченних шахів не вирішується .$n$$n$

Ще одна проста проблема - поведінка мурашника Ленґтона при обмеженій початковій конфігурації.

Мурашина поведінка Ленґтона з обмеженою підтримкою :

Квадрати на площині пофарбовані по-різному або чорним, або білим. Ми довільно ототожнюємо один квадрат як "мурашник". Мураха може подорожувати в будь-якому з чотирьох кардинальних напрямків на кожному кроці. Мураха рухається за наведеними нижче правилами:

• На білому квадраті поверніть на 90 ° праворуч, переверніть колір квадрата, рухайте вперед одну одиницю
• На чорному квадраті поверніть на 90 ° вліво, переверніть колір квадрата, рухайтеся вперед на одну одиницю

Вхід : кінцева конфігурація (чорно-біла) площини та положення мурашки;
Питання : Чи завжди мураха закінчує будівництво повторюваного нескінченного "шосе"?

Про нескінченну підтримку проблему не можна визначити, див .: А. Гаджардо, А. Морейра та Е. Голз, Складність мурашки Ленґтона

Проблема Колаца - це проста в описі проблема, розв'язування якої відкрита. Він передбачає просте повторення елементарних арифметичних операцій.

n / 2 3 n + $f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$ для парного цілого числа, для непарного цілого числа$3n+1$

Проблема полягає у вирішенні питання, чи завжди ітерація цієї функції повертається до 1 для заданого натурального числа .$n_0$

Цікаво, що узагальнення проблеми Колатца виявилося нерозбірливим.

Список літератури:

1- Невиразні проблеми: Зразок проби, непридатний для себе

2 - Вайштайн, Ерік В. "Проблема Колаца". Від MathWorld - веб-ресурс Wolfram.

3- Проблема 3X + 1: огляд , Джефрі К. Лагаріас

Невідомо, чи можна вирішити, чи можна визначити, чи може задана форма плиткою плитку .

Рішучість вмісту кон'юнктивних запитів відкрита вже понад двадцять років. Вирішення цього було б проривом у теорії баз даних.

$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$

У кон'юнктивних запитах використовується І для з'єднання разом екзистенційно кількісно визначених предикатів. У термінах SQL кон'юнктивні запити - це запити SELECT-FROM-WHERE, що використовують "=" та "AND", але не мають підзапитів чи агрегації. Це, мабуть, найпоширеніший вид запитів до бази даних і включає більшість запитів пошукової системи.

$I$$Q_1$$Q_2$

$\ne$

$(N,+,\times)$$(N,+,\times)$

Для вказівки на велику літературу та суворе поводження див. Документ, присвячений друку ToDS (у пресі) деякими людьми.

$Q$$R$$Q$$Q \text{ AND } R$$Q$

Проблема листування пошти з фіксованою кількістю плиток між 3 та 6.

Хоча це не дуже просто описати, він має дуже "грайливий" опис, і я вважаю його придатним для розмов на рівні інтуїції.

Узагальнена проблема зіркової висоти: "скільки гнізд зірок Кліне мені потрібно, щоб представити цю регулярну мову, дозволений регулярний вираз із доповненням?"

Ми навіть не знаємо, чи алгоритм, який завжди повертає 1 (за винятком 0 для мов, що не містять зірок, що є вирішальним випадком), правильний.

Проблема з теорії автоматів.

$D$

$x$$D$$x$$x$$L(D) \cap Primes$

Коментарі: Я спочатку почув цю проблему з відповіді на зміну конвеєра Джефрі Шалліта. Якщо ви знаєте будь-які посилання на нього, будь ласка, повідомте мене про це. Дякую!

Схожі повідомлення:

(1) Чи залишаються якісь відкриті проблеми щодо DFA?

(2) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

Пов'язана робота: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

"Мінімальні елементи для простих чисел" К. Брайт, Р. Девіллера та Дж. Шалліта

Ітераційні карти на інтервалі (опис тут ):

(дуже пов'язане з проблемою, запропонованою Магнусом Знайти)

$F$$x$$x$$x$$F(x)$$F(F(x))$$F$$x$$F$

$F$$x$$y$$x$$y$

$F$

$F$$x$$y$$x$$F$

Довідка: Асарін 2011 .

Здається, існує досить природний спосіб / кут вивчення цього питання, яке використовується як мінімум у трьох статтях наступним чином.

$TM(k,l)$$k$$l$$k,l$$k,l$

результати можуть відображатися на сітці, як у деяких із наведених нижче посилань. також у проміжному регіоні фактично відомо, що деякі (невирішені) машини здатні імітувати гіпотезу Колатца для деяких входів.

отже, явно існують подібні явища "точки переходу", які діють тут, але не в межах обчислюваної області, а в незвичному сенсі між обчислюваним і незрівнянним.

• Невеликі машини Тьюрінга та генералізована конкуренція бобра Michel

• Складність маленьких універсальних машин Тьюрінга: опитування Woods, Neary

• Про межі розчинності та нерозв’язності в тегових системах. Теоретичні та експериментальні результати De Mol

$2^8$

також, як приклад "близької пропуски", або "відкритого питання відносно недавно вирішеного як TM завершений", машина Wolfram 2,3 була доведена універсальною в 2007 році за приз в розмірі 25 000 доларів . конкурс був оголошений у травні 2007 року, а конкурс оголосив переможця Сміта в жовтні 2007 року .

існує досить природний спосіб відображення найбільш відкритих проблем на питання (не) розбірливості. Як правило, більшість відкритих проблем, як відомо, не піддаються доказуванню чи недоказуванню.

в Інтернеті є деяка неофіційна плутанина щодо нерозбірливості проблеми P vs NP , яка не є суворо проблемою вирішення, тому говорити про її нерозбірливість технічно не правильно. але з іншого боку, як видається, існує тісний / природний зв’язок між невизначеністю та спроможністю наступним чином.

наприклад розглянути

$L$$x$$O(n^x)$

чи вирішується ця мова? це питання про мову з відкритою розбірливістю, яка в основному тісно пов'язана (навіть, практично ідентична) з проблемою P vs NP та притаманною їй (un?) спроможності.

що стосується P vs NP як "простого для опису", він вимагає лише концепцій ТМ , Big O позначення часу виконання , недетермінізму, які є досить простими (деякі найосновніші поняття TCS) і викладаються на рівні бакалаврату або які є обдарованими гімназист міг зрозуміти.

насправді NP проти P / Poly також є відкритим, і його можна відобразити так само, як відкрите запитання про рішучість, і це можна констатувати як досить просту проблему щодо зростання мінімальних (монотонних?) схем для визнання NP повним проблеми (наприклад, кліки).