Повнота, що охоплює дерева

Дерево, що охоплює графік, називається деревом повноти, якщо набір його листя викликає повний підграф у хост-графіку. З огляду на графік $G$ та ціле число , яка складність вирішення, чи містить дерево повноти з не більше листям?$k$$G$$k$

Причиною задавати це питання є те, що відповідна проблема для дерев незалежності не є повною, тут дерево незалежності є деревом, що охоплює, таким чином, що набір його листя є незалежним набором у графіку хоста.

Ще одна причина - це питання (і відповіді на них). Виявляється, кожне розкинуте дерево - це дерево повноти тоді і лише тоді, коли - це повний графік або цикл. $G$$G$

У графі без трикутника дерево повноти має бути гамільтоновим циклом (мінус один з його ребер). ISGCI каже, що гамільтонів цикл є NP-повним у графіках, що не містять трикутників. Тому так є пошук дерева повноти (незалежно від будь-якого обмеження щодо максимальної кількості листя).

Я не можу перемогти Девіда в елегантності його відповіді. Але витративши багато часу на роздуми над цією проблемою, я хотів би зрадити своє рішення для вас;)

Нехай - нерухомий міжряддя. Дано G , побудуйте H так: Візьміть дві копії G 1 , G 2 та кліку Q на k вершинах x , x 1 , x 2 , … , x k - 1 , нова вершина y , виправте вершину v 1 ∈ G 1 і вершина v 2 ∈ G 2 . Н отримують з$k \ge 2$$G$$H$$G_1$$G_2$$Q$$k$$x, x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$y$$v_1 \in G_1$$v_2 \in G_2$$H$ і y шляхом приєднання x до v 1 , приєднання x 1 , x 2 , ... , x k - 1 до v 2 і приєднання всіх сусідів v 1 в G 1 і всіх сусідів v 2 в G 2 до у .$G_1, G_2, Q$$y$$x$$v_1$$x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$v_2$$v_1$$G_1$$v_2$$G_2$$y$

Тоді можна легко побачити, що має гамільтоновий цикл, якщо і лише тоді, коли H має дерево повноти, що має максимум k листя.$G$$H$$k$