Унікальні

Це питання, ймовірно, знаходиться на межі між темою та поза темою, однак тут я бачив подібні запитання, тому я його запитую.

Я реалізую унікальний вирішувач $k$ -SAT, вхід якого є формулою $k$ -CNF, що має щонайменше $1$ задовольняюче завдання. Щоб перевірити його практичну поведінку, мені потрібен набір таких формул. Я шукав їх в Інтернеті, і нічого не знайшов (хоча, з іншого боку, дуже легко знайти набори звичайних $k$ -CNF формул).

Де я можу знайти унікальні екземпляри $k$ -SAT?

Крім того, я буду задоволений також тим, що знаю будь-яку процедуру для створення однозначно задоволених екземплярів. Єдиний мені підхід підходить під назвою посадженої генерації екземплярів SAT : ви випадково генеруєте призначення з $n$ змінних, потім ви генеруєте лише ті пропозиції, які згодні з таким призначенням. Цей підхід для моїх цілей незадовільний з наступних причин:

• Отримана формула може мати додаткові небажані задоволення.
• Щоб бути впевненим, що формулою однозначно задоволено бажане завдання, вам слід ввести всі можливі пункти, які з нею згодні. Це дозволило б створити формули із занадто великою кількістю застережень, які, ймовірно, буде легко вирішити, а отже, не є репрезентативною для найгіршого випадку поведінки рішення. Мені не очевидно, як ми можемо ефективно змусити унікальність, зберігаючи кількість пунктів розумною.

Як ми можемо генерувати однозначно задоволені формули з розумною кількістю пунктів? Під розумним я маю на увазі далеко не максимум .$2^k \cdot {n \choose k}$

Ось один із способів генерування унікального екземпляра -SAT з урахуванням примірника SAT φ, який, на вашу думку, задовольняє. Розглянемо формулу ψ ( x ), задану формулою$k$$\varphi$$\psi(x)$

де - хеш-функція, яка відображає призначення x на k- бітове значення (для деякого невеликого значення k ), а y - випадкове k- бітове значення. Якщо φ має близько 2 k задовольняючих задач, то (евристично) будемо вважати, що ψ матиме рівно одне задовольняюче завдання (з постійною ймовірністю). Ми можемо перевірити, чи є це випадок , використовуючи вирішувач SAT (а саме, тест чи ψ виконаємо, якщо вона є, і х 0 є одним задовольняє завдання, тест чи ψ ( х ) ∧ $h$$x$$k$$k$$y$$k$$\varphi$$2^k$$\psi$$\psi$$x_0$ задовольняється). Якщо k невідомо, ви можете знайти k за допомогою двійкового пошуку або просто шляхом повторення значення кожного кандидата k = 1 , 2 , … , n (де n - кількість булевих змінних у x ).$\psi(x) \land x \ne x_0$$k$$k$$k=1,2,\dots,n$$n$$x$

Ви можете вибрати хеш-функцію вільно. Напевно, ви захочете зробити це максимально просто. Одна надзвичайно проста конструкція полягає у тому, щоб виділити випадкове підмножину k біт з x . Трохи більш складна конструкція полягає в тому, щоб i- й біт h ( x ) був xor двох випадково вибраних бітів з x (вибираючи окрему пару бітових позицій для кожного i , незалежно). Зберігаючи ч просто буде тримати ψ відносно просто.$h$$k$$x$$i$$h(x)$$x$$i$$h$$\psi$

Цей вид перетворень іноді використовується / пропонується, як частина схеми для оцінки кількості задовольняючих завдань формулі ; Я адаптував це під ваші особливі потреби.$\varphi$

В Інтернеті ви можете знайти багато тестових таблиць екземплярів SAT, і ви можете застосувати це перетворення до всіх них, щоб отримати колекцію унікальних екземплярів SAT.$k$

Іншою можливістю буде генерування унікальних екземплярів -SAT з криптографії. Наприклад, припустимо, що f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } n - криптографічна одностороння перестановка. Нехай x є випадковим чином обраним елементом { 0 , 1 } n , і y = f ( x ) . Тоді формула φ ( x ), задана f ( x ) $k$$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$x$$\{0,1\}^n$$y=f(x)$$\varphi(x)$ - це унікальнийекземпляр k -SAT. В якості іншого прикладу виберіть два великих простих числа p , q випадковим чином і нехай n = p q . Тоді формула φ ( x , y ), задана x ⋅ y = n ∧ x > 1 ∧ y > 1 ∧ x ≤ y (з очевидною відповідністю між бітовими рядками та цілими числами), є унікальною$f(x)=y$$k$$p,q$$n=pq$$\varphi(x,y)$$x \cdot y = n \land x>1 \land y>1 \land x \le y$$k$-SAT екземпляр. Однак ці конструкції не здаються корисним способом порівняння чи оптимізації вашого вирішувача. Усі вони мають особливу структуру, і немає підстав вважати, що ця структура є репрезентативною для реальних проблем. Зокрема, екземпляри SAT, витягнуті з криптографічних проблем, як відомо, є надзвичайно важкими, набагато складнішими, ніж екземпляри SAT, отримані з багатьох інших реальних програм SAT-вирішувачів, тому вони не є дуже хорошою основою для порівняльного аналізу вашого вирішувача.

Взагалі всі методи, згадані у цій відповіді, мають той недолік, що вони генерують унікальні екземпляри -SAT з певною структурою, тому вони можуть бути не тим, що ви шукаєте - або, принаймні, ви не хочете покладатися виключно за формулами, сформованими таким чином. Кращим підходом було б визначити програми Unique k -SAT (на вашу думку, хто збирається використовувати ваш вирішувач і з якою метою?), А потім спробувати отримати деякі реалістичні приклади з цих областей додатків.$k$$k$

Для відповідної теми див. Також Створення цікавих проблем комбінаторної оптимізації

Ви можете розглянути алгоритми, які використовуються для генерування пазлів судоку - імовірно узагальнених до - оскільки (як правило) головоломки судоку мають унікальне рішення. З іншого боку, головоломки судоку також гарантовано мають хоча б одне рішення ... Але пошук цього рішення все-таки може стати хорошим орієнтиром для вашого вирішувача.$n \times n$

Ви можете використовувати генератор судоку разом зі скороченням до SAT або подумати про те, як застосувати методи, використовувані в генерації судоку, для більш прямого генерування унікальних екземплярів SAT. Для перших, очевидно, ваші екземпляри SAT матимуть якусь структуру, але мені незрозуміло, чи це більш-менш структура, ніж, наприклад, посадка розчину або використання техніки ізоляції свідків. Напевно, залежить від ваших потреб та вашого вирішувача.

Я знаю тут одне посилання: Генерування головоломок судоку: від легкого до зла .

Я думаю, що хорошим тестовим випадком було б генерувати випадкові однозначно задоволені 3XOR екземпляри (посаджені екземпляри) з обмеженнями, а потім перетворити їх у 3SAT екземпляри.$\Theta(n)$

Імхо, один з найкращих способів створення "імовірно важких" екземплярів SAT при контролі кількості рішень - це цілі екземпляри / схеми, що кодуються, кодовані у двійковій системі. код не дуже складний, він використовує в основному схеми додавання EE і не призводить до "великих" випадків SAT. кількість рішень дорівнює кількості факторів (включаючи "перестановки" факторів). тому прості числа генерують рівно два рішення, . одне рішення може бути гарантовано при подальшому «порівнянні» обмеженняяке обмежує чинникиякі$(1,p),(p,1)$$a<b$$a \neq 1$ .$b \neq p$

Крім того, при такому підході порівняно легко знайти цифри, хоча приблизно багато факторів / рішень бажані. «Рівніше» число, тим більше факторів.

різні дослідники протягом багатьох років створювали цей факторинг-код SAT (наприклад, для змагань DIMACS / arcihve, який зберігав деякі фактори факторингу в минулому), але, на жаль, не існує загальнодоступної версії. дивіться також перше посилання нижче для запиту, де код був написаний / реалізований, мабуть, для аспірантури.

• Зведення задачі про цілочисельну факторизацію до задачі NP-Complete
• Генерування схеми 3SAT для прикладу цілочислення

інший емпіричний / ітеративний підхід, який може бути корисним для деяких, щоб створити більше "неструктуровані" екземпляри: створити випадкові випадки SAT поблизу точки переходу (область, де рівняння має ймовірність 50% між "вирішуваною та нерозв'язною"), і потім розв’яжіть рівняння. якщо вона нерозв’язна, викиньте і перезавантажте. якщо воно вирішимо, додайте пропозиції, які обмежують рішення, яке не є рішенням, отримуючи e n + 1 , і повторно вирішуйте. повторити, якщо потрібно. коли рівняння e n + 1 вже не розв’язується, е n повинно було мати єдине / унікальне рішення.$e_n$$e_{n+1}$$e_{n+1}$$e_n$

Ви можете легко генерувати безпосередньо унікальні формули SAT з розумним розміром $(|F|<n+2^k)$

Нехай - унікальна модель - скажімо, що m містить лише "0" s (перейменуйте змінні пізніше, якщо потрібно). Нехай формула F a k -SAT задовольняється лише m - максимальний розмір F - загальна кількість пропозицій, задоволених m, тобто ( 2 k - 1 ) ($m$$m$
$F$$k$$m$$F$$m$ .$(2^k-1) \binom{n}{k}$

Візьміть положенняякі усувають всі моделі призначаючи точно один "1" середх1,х2...хдо:(¬х1,х2...хдо)(х1,¬х2...хдо)...(х1,x2…¬xk$\binom{k}{1}$$x_1,x_2 \ldots x_k$
$(\lnot x_1, x_2 \ldots x_k)(x_1, \lnot x_2 \ldots x_k)\ldots (x_1,x_2 \ldots \lnot x_k)$

Візьміть $\binom{k}{2}$$x_1,x_2 \ldots x_k$
$(\lnot x_1, \lnot x_2, x_3 \ldots x_k)(\lnot x_1,x_2, \lnot x_3 \ldots x_k)\ldots (x_1,x_2 \ldots \lnot x_{k-1} \lnot x_k)$

Продовжуйте, поки не приймете єдине $\binom{k}{k}$$x_1,x_2 \ldots x_k$

$x_1,x_2 \ldots x_k$$m$$n-k$$x_i (k<i\leq n)$$0$$k-1$ змінним серед$x_1,x_2 \ldots x_k$, наприклад:
$(\lnot x_{k+1}, x_1 \ldots, x_{k-1}) \ldots (\lnot x_n, x_1 \ldots x_{k-1})$.

Then $|F|=\sum_{i=1}^k \binom{k}{i} +n-k = 2^k-1+n-k$

To get more clauses, add any clause containing at least one negated variable. To get an unsatisfiable formula, just add a clause with $k$ unnegated variables.