Чи можемо ми обчислити з бітів за час?

Я шукаю ефективний алгоритм для проблеми:

Введення : додатне ціле число (зберігається як біти) для деякого цілого числа . $3^n$ $n \geq 0$

Вихід : Число . $n$

Запитання : Чи можемо ми обчислити з бітів за час? $n$ $3^n$ $O(n)$

Це теоретичне запитання, мотивоване моєю відповіддю на математичне запитання. Як знайти формулу цього біекція? . У цьому питанні автор хотів знайти бісекцію з та натуральні числа . Я запропонував як рішення. Інша відповідь там стверджує, що "немає простої формули", що змушує мене замислитися, наскільки (обчислювально) просте моє запропоноване рішення.

{2^{n} 3^{m} : n \geq 0 and m \geq 0}

$\{2^n 3^m: n \geq 0 \text{ and } m \geq 0\}$

N = {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$

2^{m} 3^{n} \mapsto 2^{m} (2 n + 1)

$2^m 3^n \mapsto 2^m(2n+1)$

З моїм запропонованим рішенням, якщо ми знаємо і , ми можемо легко обчислити (записати двійкові цифри наступним а потім нулями). Це займає час . $n$ $m$ $2^m(2n+1)$ $n$ $1$ $m$ $O(n+m)$

Знаходження з бітів означає знаходження найменш значущого біта (який можна обчислити підрахунком правильних зрушень бітів, залишивши в пам'яті ). Це займає час. $m$ $2^m 3^n$ $3^n$ $O(m)$

Однак нам також потрібно знайти , що може бути складніше. Можна було б знайти , повторно ділившись на , але це здається марнотратним. Для цього потрібно операцій поділу, кожна з яких займе час , тому в цілому це час . [Власне, після кожної ітерації кількість цифр лінійно зменшиться, але це все одно призводить до часу .] $n$ $n$ $3$ $n$ $O(n)$ $O(n^2)$ $O(n^2)$

Схоже, ми повинні мати можливість використовувати, знаючи, що вхід - це сила . $3$

ds.algorithms time-complexity

— Ребекка Дж. Стоунс
джерело

Яка ваша точна модель обчислень? Які операції дозволені в час? (Якби ми могли зробити арифметику з такими числами, як це було б дуже корисно ...)

O (1)

$O(1)$

\log_{2} 3

$\log_2 3$

— Yuval Filmus

Чи може пояснювач пояснити сутичку? Це зовсім не здається тривіальним питанням. Який найкращий час роботи за певною розумною моделлю обчислення?

— Yuval Filmus

Я уявляю стрічки з 0, 1 та порожніми клітинками (з нескінченною кількістю стрічок). Я хочу, щоб одиничні бітові перемикання та операції зсуву ліворуч / праворуч виконувалися в час. (Якщо у нас є маркер 0-го біта на нескінченній стрічці, то зсув вліво / вправо досягається зміщенням маркера). На відміну від машини Тьюрінга, я не хочу, щоб це зайняло часу для переміщення вказівника. Отже, "переключення 0-го біта" займає той же час, що і "перемикання 124126-го біта".

O (1)

$O(1)$

— Rebecca J. Stones

Це може бути якимось чином пов’язане з цим питанням

— J.-E.

Чи очевидна нижня межа ?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Борис Бух

Відповіді:

Очевидний підхід:

(1) Обчислити наближення до . Ви можете наблизити його до помилки додаткової помилки 1, порахувавши кількість бітів у заданому бінарному поданні, і до помилки добавки , додатково подивившись на верхній біти вводу. Досить вибрати значення постійного значення , щоб (після поєднання з помилкою на кроці (2)) кінцевий результат опинився в межах додаткової помилки правильної. $\log_2(3^n)$ $\epsilon$ $O(\log\frac{1}{\epsilon})$ $\epsilon$ $1/2$

(2) Обчислити наближення до . Я не знайомий з алгоритмами цього, але я думаю, що вони потребують багаточлени часу в кількості потрібних вам бітів точності, і вам потрібні лише біти точності . $\log_2(3)$ $O(\log n)$

(3) Розділіть відповідь на (1) на відповідь на (2) і округніть до найближчого цілого числа.

Отже, перший крок займає лінійний час (у більшості моделей обчислень, хоча, можливо, не для деяких малопотужних, таких як одноголові машини Тюрінга ), а решта кроків повинні бути полілогіармічними.

— Девід Еппштейн
джерело

Я вважаю, що для обчислення до біт точності потрібен час , де час помножити бітні числа. Дивіться Brent - Zimmermann, loria.fr/~zimmerma/mca/pub226.html

\log_{2} (3)

$\log_2(3)$

t

$t$

O (M (t) \log t)

$O(M(t) \log t)$

M (t) \leq O (t \log t 2^{\log^{*} t})

$M(t) \leq O(t \log t 2^{\log^* t})$

t

$t$

— Ryan O'Donnell

Дякую за довідку та вибачте за те, що я занадто лінивий, щоб розібратися.

— Девід Еппштейн

Для будь-якого цілого числа , для запису у двійковій формі потрібно точно біт. З елементарної алгебри випливає, що Для будь-якої бітової довжини в цьому діапазоні є щонайбільше одне ціле число. Таким чином, з урахуванням інтегральної потужності що дорівнює бітам, експонентом повинно бути ціле число $n>0$ $3^n$ $L = \lceil \log_2(3^n)+1\rceil$

\frac{L - 2}{\log_{2} 3} \leq n \leq \frac{L - 1}{\log_{2} 3} .

$\frac{L-2}{\log_2 3} \le n \le \frac{L-1}{\log_2 3}.$

L \geq 1

$L\ge 1$

3

$3$

L

$L$

n = ⌊ \frac{L - 1}{\log_{2} 3} ⌋ .

$n = \left\lfloor\frac{L-1}{\log_2 3}\right\rfloor.$

— Джефф
джерело

Ось ще один підхід. З огляду на низький цифр , ви можете вивчити і, таким чином, . Схоже, є генератором по модулю (тобто має порядок ). $k$ $3^n$ $3^n \bmod 10^k$ $3^n \bmod 5^k$ $3$ $5^k$ $3$ $\varphi(5^k)=5^{k-1} \times 4$

Тому, використовуючи дискретний журнал та підйом Гензеля, я думаю, ви повинні мати можливість обчислити з низьких цифр . Іншими словами, ви починаєте з обчислення з малої цифри , переносячи дискретний журнал на базу , модуль ; це виявляє , і це можна зробити в $n \bmod \varphi(5^k)$ $k$ $3^n$ $n \bmod 4$ $3^n$ $3^n \bmod 5$ $3$ $5$ $n \bmod 4$ $O(1)$ час. Потім ви знайдете дискретний журнал до основи , модуль ; це виявляє , і це можна зробити за час (скориставшись знаннями , ви можете спробувати лише можливостей). Ітерація. На кожному кроці ви використовуєте знання щоб допомогти вам ефективно обчислити дискретний журнал $3^n \bmod 25$ $e$ $25$ $n \bmod 20$ $O(1)$ $n \bmod 4$ $5$ $n \bmod \varphi(5^{k-1})$ , використовуючи той факт, що існує лише можливих значень для . $3^n \bmod 5^k$ $5$ $n \bmod \varphi(5^k)$

Тепер просто нехай буде досить великим, і це виявляє . $k$ $n$

Вам потрібно буде розібратися, чи час роботи , але мені здається, що це може бути. Я підозрюю, що достатньо дозволити , і я підозрюю, що ви можете робити кожну ітерацію в час, в цілому час. $O(n)$ $k=O(n)$ $O(1)$ $O(n)$

— DW
джерело