Кришка обмеженої частоти з обмеженою кардинальністю: твердість наближення

Розглянемо проблему покриття мінімальної множини з такими обмеженнями: кожен набір містить максимум елементів, і кожен елемент Всесвіту зустрічається щонайбільше f множин.$k$$f$

• Приклад: випадок і f = 2 еквівалентний мінімальній задачі про покриття вершин у графах з максимальним ступенем 4.$k = 4$$f = 2$

Нехай є найбільшим значенням таким, що знаходження a ( k , f ) -апроксимації мінімальної задачі на покриття заданих параметрів k і f є NP-жорстким.$a(k,f) > 1$$a(k,f)$$k$$f$

• Приклад: ( Berman & Karpinski 1999 ).$a(4,2) \ge 1.0128$

Питання: Чи є у нас посилання, що підсумовує найсильніші відомі нижні межі на ? Зокрема, мене цікавлять конкретні значення у випадку, коли і k, і f малі, але f > 2 .$a(k,f)$$k$$f$$f > 2$

Обмежені версії проблеми з набором обкладинки часто зручні для зменшення; зазвичай існує деяка свобода у виборі значень і f , і подальша інформація про a ( k , f ) допоможе вибрати правильні значення, які забезпечують найбільш сильні результати твердості. Посилання тут , тут і тут дають вихідну точку, але інформація дещо застаріла і фрагментарна. Мені було цікаво, чи є більш повне і сучасне джерело?$k$$f$$a(k,f)$

$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ (Dinur et al., 2004) , як зазначає Лев.
• Якщо про унікальні ігри правдива, то , що є щільним (Khot & Regev, 2008) .$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

Ігноруючи ,$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (тривіально).
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ (Холмерін, 2002)

Єдиний результат, який я знаю, що поєднує два параметри - це

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ для фіксований , або повільно зростаючи з (Гальперін, 2002)$k$$k$$\Delta$

Існує зв'язок між цією проблемою та (слабкою) незалежною задачею, але я не зовсім впевнений, наскільки вони пов'язані з точки зору наближеності. Я рекомендую дослідити це, можливо, почавши тут: [PDF] .

Використовуючи, як у відповіді Джеймса Кінга, позначення для найкращого наближення полінома до часу покриття вершин у -необхідних гіперграфах ступеня не більше , ми також маємо$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

від алчного алгоритму наближення кришки набору: кришка вершини в гіперграфах ступеня не більше така ж, як задача обкладинки заданих наборів розміром не більше , для яких жадібний алгоритм має коефіцієнт наближення не більше , де - гармонічна функція.$\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

У цій роботі я це показую

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

якщо , змінюючи параметри зменшення Feige.$P=NP$

Про всяк випадок, коли ви його вже не знайшли; найновіший результат твердості для обмеженої вершини кришки, який я виявив під час останніх пошуків, - це Chlebik & Chlebikova , наприклад, близько 1,01 твердості в кубічних графіках.

Це не зовсім відповідає на ваше запитання, але, можливо, це може допомогти - є документ [Dinur et al. 2004], який охоплює f> 2 (але, схоже, не фіксує k).