Складність у розумінні квантового алгоритму для абелевої прихованої задачі підгрупи

11

У мене виникають труднощі в розумінні останніх кроків алгоритму AHSP. Нехай $G$ абелева група і $f$ функція , яка приховує підгрупу $H$ . Нехай $G^*$ представляє подвійну групу $G$ .

Ось етапи алгоритму

Спочатку підготуйте державу,

$\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$ .
Потім застосуємо квантовий оракул, який оцінює $f$ на $I$ , отримаємо

$\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$ .
Тепер виміряйте другий кубіт $I'$ , отримаємо

$\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

для деякого $r \in G$ .
Тепер застосуємо перетворення квантового фур'є на перший кубіт

$\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$ ,

де . $H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

Тепер із стану як можна отримати генератори групи ? $I_m$ $H$

ds.algorithms quantum-computing gr.group-theory

— user774025
джерело

Я настійно рекомендую прочитати конспекти лекцій Ендрю Чайлдса про AHSP. Вони доступні на сайті math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— Робін Котарі

4

Ця класична післяобробка використовує декілька теоретичних властивостей абелевих груп нетривіальної групи. Я написав дидактичне пояснення того, як працює цей класичний алгоритм [1] ; інші хороші джерела, про які варто прочитати, є [ 2 , 3 , 4 ].

Отже, вимірювання в кінці алгоритму на стандартній основі дасть вам елементи рівномірно випадково. Не важко перевірити, що множина - (кінцева абелева) підгрупа групи символів ; завдяки, після вимірювань генеруючий набір отримується з вірогідністю, експоненціально близькою до одиниці. $H^{*}$ $H^{*}$ $G^{*}$ $O(\log{|G|})$ $H^{*}$

Найбільш технічна частина полягає в тому, як реконструювати заданим генеруючим набором . Давайте зараз зосередимося на цій проблемі. Для цього нам знадобляться деякі зачатки з теорії характерів. $H$ $H^{*}$

Теорія характерів

Перш за все, пам’ятайте, що, коли є кінцевим абелевим, символи утворюють групу, ізоморфну і що їх можна записати як $G$ $G$ Міткаперсонажає елементом. Картавизначає ізоморфізм міжта, щоб ми могли ідентифікувати обидві групи.

χ_{g} (h) = \exp (2 π i \sum_{i = 1}^{m} \frac{g (i) h (i)}{d_{i}}) .

$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$

g

$g$

χ_{g}

$\chi_g$

G

$G$

g \to χ_{g}

$g\rightarrow \chi_g$

G^{*}

$G^*$

G

$G$

Тепер, з огляду на , безліч Ви описуєте каллу в ортогональної підгрупі або, в залежності від джерела, в аннулятор . Ця підгрупа має деякі важливі математичні властивості: $H$ $H^*$ $H$ $H$

Перш за все, також є підгрупою ; $H^*$ $G$
Це подвійне до , в тому сенсі , що, якщо ми розглянемо подвійний аннуляторний підгрупу ця підгрупа ізоморфна : тобто, . Це гарантує, що розв’язки системи рівнянь $H$ $H^{**}$ $H$ $H\cong H^{**}$ є саме елементи підгрупи , що ви хочете.
$χ_{г} (год) = 1, для кожного г \in Н^{*}$ $\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$ $H$

Лінійні рівняння для груп

Тепер ключовим спостереженням, яке ми можемо скористатись, є наступне (я дотримуватимусь [1] цієї частини): колишні системи рівнянь можуть бути переписані як " система лінійних рівнянь над кінцевими абелевими групами ". Під цим я маю на увазі проблему, де вхідні дані для кінцевих абелевих груп , ; елемент ; груповий гомоморфізм і завдання полягає у пошуку розв’язків рівняння Ви можете показати, що будь-які гомоморфізми можна записати як матрицю $X$ $Y$ $b\in Y$ $\alpha:X\rightarrow Y$

α (х) = б

$\alpha(x)=b$

A

$A$ , таким чином, що вищезазначена задача може бути повторно виражена як

де будемо вважати

.

А х = (\begin{matrix} а_{1} (1) & а_{2} (1) & \dots & а_{н} (1) \\ а_{1} (2) & а_{2} (2) & \dots & а_{н} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ а_{1} (м) & а_{2} (м) & \dots & а_{н} (м) \end{matrix}) (\begin{matrix} х (1) \\ х (2) \\ ⋮ \\ х (н) \end{matrix}) = (\begin{matrix} б (1) \\ б (2) \\ ⋮ \\ б (м) \end{matrix}) \begin{matrix} мод г_{1} \\ мод г_{2} \\ ⋮ \\ мод г_{м} \end{matrix} = б

$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$

Y = Z_{d_{1}} \times \dots \times Z_{d_{m}}

$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

$x_0+\ker{\alpha}$ $x_0$ $\ker{\alpha}$ $\alpha$ $X$ $\ker{\alpha}$ переписати систему майже в діагональній формі (необхідні деякі інші проміжні кроки, але це має дати вам інтуїтивну картину).

$H$ $\Omega x = 0$ $\Omega$ $\Omega$

— Хуан Бермеджо Вега
джерело

2

$I_m$ $\chi \in G^*$

$n$ $n$ $G$ $K$ $G^*$

$H$ $H^*$ $K$

$n$

— WJ Zeng
джерело